Масленица, братцы!
Поиск новых вариантов приготовления блинчиков, привёл меня к любопытному рецепту — блины на чае. Это само по себе достаточно необычно, но ещё интереснее оказались геометрические свойства этих блинчиков: они в процессе выпекания приобретают форму гиперболических поверхностей, то есть, приобретают отрицательную гауссову кривизну!
Обычно, когда говорят о гиперболических поверхностях и геометриях, изображают классические фигуры: гиперболический параболоид или псевдосферу — канонические поверхности, которые описываются простейшими уравнениями, имеющими необходимые свойства. Но различных гиперболических поверхностей может быть сколько угодно. В случае моих блинчиков это проявляется в том, что они имеют более или менее евклидову серединку, а ближе к краям образуют хитрые всё увеличивающиеся складки. Края, как будто, не помещаются в сковородке.
Если мы, живя внутри такой гиперболической поверхности, станем рисовать окружности, то обнаружим, что длина окружности перестаёт быть пропорциональной радиусу, а увеличивается быстрее: для канонических поверхностей — пропорционально гиперболическому косинусу от радиуса. На таких блинчиках сумма углов в треугольнике может быть заметно меньше развернутого угла, не будет работать теорема Пифагора, и можно будет пройти вдоль замкнутой выпуклой ломаной, поворачивая на 90 градусов больше четырёх раз.
Подобные формы образуют ткани некоторых живых организмов: плодовые тела грибов, талломы листоватых лишайников, внешние скелеты кораллов и мантии моллюсков, лепестки махровых цветов и так далее.
Гиперболичность в них происходит из-за того, что они разрастаются от центра к краям, слой за слоем, при этом в каждом следующем слое получается непропорционально больше клеток и периметр растёт быстрее, чем у окружности. Постоянно увеличивая периметр, такие ткани увеличивают площадь, оставаясь при этом компактными. Этот процесс очень хорошо знаком тем, кто учится вязать круглые салфетки крючком и просчитывается с количеством петель, гиперболическая салфетка никак не хочет разравниваться на столе и упрямо топорщится краями. Впрочем, оказывается, существует целое направление гиперболического вязания (https://www.liveinternet.ru/users/laza-l-v/post411107450)
В случае блинчиков, процесс гиперболизации состоит не в последовательном расширении краёв, а в последовательном сжатии серединки. Пока выпекается одна сторона, блин остаётся плоским и вполне евклидовым, при этом краешки успевают затвердеть, а серединка остаётся мягкой и эластичной. После переворачивания (по непонятным мне пока причинам) блинчик начинает уменьшаться. Причём, эластичная серединка съёживается равномерно, оставаясь вполне евклидовой, а затвердевшие краешки этому препятствуют и мы получаем узнаваемую складчатую гиперболическую поверхность. Надо сказать, что эти складки превращаются в чудные хрустящие блинные краешки, которые иные блинные гурманы ценят даже больше чем нежную серединку.
Не фракталами едиными жива математическая эстетика (или эстетическая математика)! Наберите в поисковике запрос картинок "hyperbolic surface in nature" и удивитесь насколько красив наш мир!
Всем доброй масленицы и скорого прихода весны!
