У нас есть квадрат с единичной стороной. Жёлтый угол равен 45°, зелёный — 70°. Нужно найти синий угол и периметр зеленого треугольника.
Задача не то, чтобы сложная, но есть нюанс — индийские школьники в 9 классе ещё не знакомы с тригонометрией, так что попробуйте обойтись в решении без неё.
Если хотите подумать сами, то не спешите скролить страничку вниз, а подумайте сами. А если нужны подсказки, то пролистывайте вниз медленно, пункт за пунктом.
Решение
1. Давайте для начала рассмотрим синий треугольник (рисунок ниже). Так как он прямоугольный, а зеленый угол известен по условию, значит, оставшийся третий (синий) угол равен 180°-90°-70°=20°.
2. Теперь посмотрим на угол А квадрата (рисунок ниже). Он равен 90° и образован тремя углами: синим (мы его только что нашли — 20°), жёлтым, который по условию равен 45° и красным. Последний мы можем найти как 90°-45°-20°=25°.
3. Теперь посмотрим на красный треугольник — он прямоугольный. И найдем оставшийся угол. 180°-90°-25°=65°. Запомним этот угол, он нам ещё пригодится. Рисунок ниже.
4. Теперь сделаем финт ушами. Повернем синий треугольник на 90° по часовой стрелке вокруг вершины А (рисунок ниже). Я не могу объяснить, как до этого можно догадаться логически. Наверное, это озарение. Или опыт. Или седьмое чувство. Должно получится так же, как на картинке ниже. Новую вершину обозначим F', так как это изображение повернутой вершины F. Мы получили конгруэнтный треугольник. Отметим угол 20°.
5. Теперь посмотрим на жёлтый треугольник (рисунок ниже). Угол при вершине А в нём равен 20°+25°=45°. А ещё AF'=AF по построению. А сторона АЕ является общей для желтого и розового треугольников. Из этого следует, что жёлтый и розовый треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. По сути они являются отражением друг друга относительно стороны АЕ.
6. Раз жёлтый и розовый треугольники равны, значит, все соответствующие элементы в них тоже равны и искомый синий угол равен красному углу Е (смотри рисунок ниже), который мы находили в третьем пункте, и который равен 65°. Выходит, что на первый вопрос, мы ответили, осталось найти периметр зеленого треугольника.
7. Вспоминаем, что ▲AF'D=▲ABF по построению, а значит, синие отрезки (смотри рисунок ниже) равны — обозначим их за Х. Тогда красный отрезок равен (1-Х). Обозначим жёлтый отрезок за Y.
9. Из равенства жёлтого и розового треугольников (рисунок в пункте 6 — ▲AF'E=▲AEF) следует, что зеленые отрезки (рисунок ниже) равны (X+Y). А оранжевый отрезок равен (1-Y), потому что сторона квадрата равна 1.
10. Поучается, что периметр искомого треугольника равен сумме зеленого, красного и оранжевого отрезков. То есть периметр зеленого треугольника равен (X+Y)+(1-X)+(1-Y)=1+1=2. Это и есть ответ на второй вопрос задачи.
Как вам? Удалось решить самостоятельно? Российские девятиклассники, которым я давал эту задачу, не смогли осилить эту задачу. И понятно почему. Как можно было догадаться до того, что треугольник ABF нужно повернуть на 90° по часовой стрелке? Вот как? Я сам до сих пор не понимаю, как это пришло в голову.
Именно за это я и люблю геометрические задачи. Никогда не знаешь с чего начать, что использовать и что бы такое сделать. И каждый раз, находя самостоятельно решение задачи, подобной этой, испытываешь катарсис. Дети, кстати, когда впервые услышали это слово, тихонечко захихикали, как будто я сказал что-то пошлое. А вы, к слову, знаете, что такое катарсис?
Не забывайте подписываться на мои каналы в любимых соцсетях, ссылки на них в описании канала.
Ещё интересно:
