Известно, что если дед Мороз будет ехать со скоростью 90 вёрст в день, то он прибудет на день раньше, а если 60 вёрст в день, то опоздает на день. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы приехать вовремя?
Напрашивается рассуждение из соображений симметрии: раз плюс-минус день, то искомая скорость плюс-минус Х дает 60 и 90, откуда Х — это 15, а искомая скорость 75; но оно неверно.
Верное рассуждение такое: весь путь L дед проходит с искомой скоростью v за время T. Ничего из этого мы не знаем, и не надо. Знаем только соотношение L/v=T. Знаем ещё, что если скорость 90, то время на день меньше: L/₉₀=T-1, а если скорость 60, то время на день больше:
L/₆₀ = T+1.
В итоге получаем, складывая эти два соотношения,
L/₆₀ + L/₉₀ = 2T,
а с учётом первого получим
v/₆₀ + v/₉₀=2.
Умножим на 180: получим 5v=360, откуда v=72.
Что ещё можно выжать? Можно получить из наших соотношений
v/₉₀ = 1 - 1/T, v/₆₀ = 1 + 1/T,
то есть 1/T=0.2 (из обоих), откуда T=5. Мы узнали весь путь деда Мороза: он ехал пять дней. И проехал 72∙5 = 360 вёрст.
Получается красиво: правильный ответ близок к неверному, но отличается от него.
В чём же ошибка в применении симметрии? Способ "без уравнений" тоже есть, давайте проследим. Если дед едет со скоростью 60 вёрст в день, то он опоздает на день, то есть не доедет 60 вёрст. Если же он едет со скоростью 90 вёрст в день, то приедет на день раньше; продолжая движение, он уедет на 90 вёрст дальше. Теперь видно, что симметрии нет: скорость больше 60, но не посередине между 60 и 90.
Двигаясь на 30 вёрст в день быстрее, чем 60, дед проехал 150 лишних вёрст (60 нехватки и 90 лишку). То есть можно считать, что 150 вёрст он покрыл за пять дней: это как раз дает скорость 30 в день. Значит, ехал он пять дней, хорошо, и проехал со скоростью 60 только 80% пути, четыре пятых. Ведь ему еще целый день надо ехать. Значит, искомая скорость на одну пятую больше, чем 60, а это как раз 72.
Можно и с другой стороны, если мы не любим опаздывать. Двигаясь на 30 вёрст медленнее, чем 90, дед покрыл на 150 вёрст меньше. Это дает те же пять дней, но за четыре дня дед доехал до цели. То есть проехал дед за пять дней пять четвертей пути, 125%. Скорость надо на одну пятую ниже, вычитаем из 90 одну одну пятую, 20%, и получаем 72.
То есть симметрия есть, но надо прибавлять/вычитать не одно и то же число к скорости, а один и тот же процент. Обозначив этот процент за 100Х, получим
60+60Х=90-90Х,
откуда 150Х=30, или Х=20%.
Такое различие, плюс-минус что-то или плюс-минус постоянный процент, встречается часто. Первая заметка на канале как раз и касалась вопроса об игре, в которой можно проиграть или выиграть фиксированный процент от капитала. Если играть на постоянную ставку против игрока, у которого В ставок, имея А ставок, то вероятность победы равна А/(А+В), среднее число партий до разорения одного из игроков равна АВ, а средний капитал на руках равен А. Если у противника бесконечно много ставок, то вероятность победы равна нулю, среднее число партий бесконечно, а средний капитал на руках равен исходному. Почти всё это мы уже обсуждали.
Если же играть на процент от капитала (ставить не монету, а, например, 1%), против бесконечного капитала, то разорение (в смысле достижение нуля) вообще невозможно. Капитал может быть очень мал, но всегда положителен. А средний капитал на руках тоже равен начальному. Хотя на практике разорение (в смысле потери большей части капитала) неизбежно.
То есть, разорение невозможно, если говорить строго; не ожидается, если говорить в среднем; и неизбежно, если не умничать (или, напротив, довести задачу до конца).
Против противника с конечным капиталом — нужно кое-что уточнить, что мы сделаем в другой раз.
Ключевая разница между игрой на постоянную ставку и постоянную долю в том, что выигрыш и проигрыш ставки приводит к восстановлению капитала, и в обратном порядке тоже; а вот выигрыш и проигрыш (или наоборот) фиксированной доли означает проигрыш.
Еще пример: изъятие особей с постоянной скоростью в модели хищник-жертва (хоть одного вида, хоть другого, хоть обоих) приводит к потере устойчивости и гибели системы, а вот изъятие фиксированной доли в единицу времени не меняет устойчивости, при условии что доля эта не превосходит фертильности. Квадратичное же изъятие усиливает устойчивость системы, уменьшая ее естественную изменчивость.
За этим нюансом — постоянный фактор или пропорциональный — всегда надо следить.
