Добрый день, дорогие друзья. Как и обещал, разберем этот вопрос про "пятнадцатиградусный прямоугольный треугольник", о котором в школах говорят нечасто. А свойство его весьма интересное!
Само свойство звучит так: В прямоугольном треугольнике с углами в 15, 75 и 90 градусов, высота, проведенная из вершины прямого угла, равна четверти от гипотенузы.
Давайте докажем!
Первым делом проведем медиану из прямого угла С к гипотенузе АВ. Как вы помните, такая медиана обладает особенностью - она равна половине гипотенузы. Эту теорему изучают во всех школах. Но, может быть, и ее повторим в отдельной статье. Исходя из этого получившийся треугольник АМС - равнобедренный.
А если так, то мы знаем, что угол АСМ равен 15 градусам, и легко вычисляем угол АМС. Он оказывается равным 150 градусам.
Хорошо!
Имея все эти данные, можем переключиться к рассмотрению прямоугольного треугольника МСН.
Угол НМС (бирюзовый) является смежным с углом АМС. Следовательно, их сумма равна 180 градусам, а сам бирюзоый угол равен 30 градусам.
Но тогда получается, что треугольник МНС - тот самый "30-60-90". А его свойство известно и даже популярно среди школьников и студентов. Все мы знаем, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы! Гипотенуза - это МС, а катет напротив 30 градусов - это СН (или просто h). Следовательно h - это половина МС.
Ну а дальше, думаю, вы уже сами все видите. Правильно?
Если h - это половина МС, а сама медиана МС - это половина АВ (мы говорили об этом в начале заметки), то получается, что h - это половинка от половинки гипотенузы АС. Следовательно, h - четвертинка гипотенузы.
Вот и всё! Что и требовалось доказать :)
- Поделитесь, пожалуйста, в комментариях, все ли понятно?
- Какие еще доказательства этого свойства вы можете предложить?
Спасибо за внимание и до встречи в новых заметках и статьях!