Продолжим тему решения олимпиадных задач. Сегодня посмотрим задания из различных математических олимпиад Китая. Надо же всё-таки установить на сколько их программа сложнее, чем в других странах.
Задачи, которые я хочу вам предложить были выбраны из различных олимпиад: национальной, олимпиады для девочек (да-да и такая есть, а вот отдельной для мальчиков я не нашла), и других. Все задания взяты из олимпиад прошлого года. Сразу предупреждаю, задачи не для слабонервных.
Задача 1
В треугольнике АВС АВ = ВС и точка I - пересечение биссектрис. М середина отрезка BI. Точка Р лежит на отрезке АС так, что АР = 3РС. Точка Н лежит на прямой PI, так что МН ⊥ РН. Точка Q середина дуги АВ, описанной около треугольника окружности. Докажите, что ВН ⊥ QH.
Если вы не закрыли статью в ужасе, то вот вам еще и рисунок.
Задача 2
Имеется 3 класса по n учеников в каждом, и рост всех учеников попарно различен. Учеников разделили на группы по 3 человека так, что в каждой группе был по одному ученику из каждого класса. В каждой группе самого высокого ученика назвали "высоким парнем". Предположим, что для любой группы учеников в каждом классе есть не менее 10 "высоких парней", докажите, что тогда минимальное значение n равно 40.
Задача 3
Имеется набор вещественных чисел:
Определите максимальное значение:
Задача 4
Для всех положительных вещественных чисел a, b, c, докажите, что:
Для интересующихся, здесь можно посмотреть олимпиады из различных стран. Большая база данных, хватит на все длинные зимние вечера.
