Пятая публикация из цикла, посвящённого советам по построению графиков функций. С предыдущими можно ознакомиться здесь:
1. Правила 1(ш)-8(ш) / 2. Правила 1(ф)-3(ф) / 3. Правила 4(ф)-6(ф) / 4. Правила 7(ф)-9(ф)
Приведённые в предыдущих заметках правила можно комбинировать, что даёт большую свободу при конструировании функций, описывающих весьма причудливые линии. Кроме этого, задание на построение графика функции зачастую является первым этапом при решении других задач, в том числе – прочих упражнений по изображению на плоскости множества точек. В отношении графиков уравнений также возможна формулировка некоторых обобщённых рекомендаций.
Думаю здесь вполне уместным будет напомнить, что обычно подразумевается под понятием «график уравнения» – это множество всех точек на плоскости, координаты которых при подстановке в само уравнение обращают его в верное числовое равенство. Так, графиком для x² + y² = 1 является окружность единичного радиуса, центр которой расположен в начале координат. График функции y = f(x) тоже можно рассматривать как график уравнения y – f(x) = 0.
Правило 1(у)
Для построения графика уравнения вида
|y| = f(x)
все точки графика функции y = f(x), лежащие в нижней полуплоскости, нужно отбросить, а часть графика f(x) из верхней полуплоскости зеркально отразить в нижнюю, симметрично оси абсцисс.
Правило напрямую вытекает из рассмотрения разных знаков переменной y:
Ряд конкретных примеров применения описанного здесь приёма можно посмотреть в разборе задачи А-25, вот один из них:
Правило 2(у)
Для построения графика уравнения вида
f(y) = x
нужно считая переменную y аргументом, а x – функцией построить график x = f(y) (как бы повернуть график y = f(x) на 180° «вокруг» прямой y = x с «выходом» линии графика из координатной плоскости).
Ниже на рисунках слева показана общая схема применения данного приёма, а также приведён пример с форзаца одного задачника (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1994. – 271 с.):
Правило 3(у)
Если F₁(x, y), F₂(x, y),… , Fₙ(x, y) – некоторые выражения, содержащие переменные x и y, то графиком уравнения вида
F₁(x, y)·F₂(x, y)· … ·Fₙ(x, y) = 0
будет совокупность (объединение) графиков уравнений
F₁(x, y) = 0; F₂(x, y)=0; … ; Fₙ(x, y) = 0
с учётом значений x и y, при которых выражение исходного уравнения имеет смысл.
Формулировка правила проистекает из простого факта о том, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
F₁(x, y)·F₂(x, y)· … ·Fₙ(x, y) = 0 ⇔
Образно выражаясь, правило описывает приём по созданию «математических Франкенштейнов», позволяющий задавать на плоскости единым выражением целую группу различных линий.
Изобразить обобщённую иллюстрацию правила затруднительно, поэтому лучше рассмотрим пару конкретных примеров.
График уравнения
(y² + x² – 2x)·(y² + x² + 2x) = 0
представляет собой совокупность двух окружностей единичного радиуса с центрами в точках (1; 0) и (–1; 0). Любопытно, что в точности такой же график имеет уравнение
x² + y² = 2|x| ,
также изображённый на форзаце уже упоминавшегося задачника:
Данный факт позволяет говорить о равносильности этих уравнений:
x² + y² = 2|x| ⇔
⇔ (y² + x² – 2x)·(y² + x² + 2x) = 0 ⇔
В рассмотренном соотношении отсутствуют какие-либо ограничения на значения переменных (может ли при этом равенство всегда оставаться верным – отдельный вопрос). Иная ситуация была в задании А-107 (см. рисунок ниже), где часть графика уравнения является левой половиной окружности. Правая же часть окружности оказалась «откушенной» из-за требования –1 ⩽ x ⩽ 1 (допустимые значения аргумента арксинуса), ибо только в этом случае выражение исходного уравнения имеет смысл.
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik