Третья публикация из цикла, посвящённого советам по построению графиков функций. С предыдущими можно ознакомиться здесь:
1. Правила 1(ш)-8(ш)
2. Правила 1(ф)-3(ф)
Когда заводят речь о периодических функциях, то прежде всего вспоминают функции тригонометрические – синус, тангенс и т. д. Существует ещё одна, также обладающая периодичностью – это дробная часть числа y = {x} и с помощью неё можно создавать другие периодические функции.
Правило 4(ф)
Чтобы построить график функции
y = f({x})
нужно взять часть линии графика f(x) на промежутке значений аргумента [0; 1) и многократно продублировать его параллельным переносом вправо и влево.
Показать, откуда берётся это правило, можно следующим образом. Прежде всего f({x}) – периодическая функция с периодом, равным единице, поскольку функция дробной части числа также имеет такой период:
f({x + k}) = f({x}), k∈ ℤ
Именно поэтому график f({x}) будет состоять из повторяющихся частей и для построения достаточно знать его вид на произвольном промежутке значений аргумента длиной в единицу. Здесь промежуток [0; 1) оказывается особенно удобным, так как имеет нужную длину и на нём {x} = x, то есть при x∈[0; 1) имеет место равенство f({x}) = f(x).
Тут нужно сразу сделать пару оговорок. Первая – не каждая функция будет определена на полуинтервале [0; 1). Один из простейших примеров этого – натуральных логарифм ln x. При x = 0 линия его графика уходит в минус бесконечность. Тем не менее учёт этого обстоятельства позволяет изобразить график функции y = ln{x}:
Вторая оговорка касается вида графика в целом: не всегда будет получаться непрерывная линия – упомянутый случай с ln{x} наглядно это демонстрирует. Линия графика f({x}) будет цельной, если суметь обеспечить выполнение условия f(0) = f(1). Например, в задании А-17 удалось обойтись смещением графика y = |x| на половину единицы вправо:
а в А-20 экспонента была спущена вниз на (e + 1)/2 и взята по модулю:
Не знаю почему, но я больше симпатизирую функциям, не имеющим на графике точек разрыва и определённым на всём множестве действительных чисел. Разумеется, функции, не обладающие упомянутыми чертами, не настолько плохи, чтобы оставить их без внимания – поговорим и о них. Сначала вернёмся к теме сочетания функции и её модуля и рассмотрим следующие два правила.
Правило 5(ф)
График функции
представляет совокупность горизонтальных линий y = 1 при значениях аргумента, где f(x) > 0 и линий y = –1, где f(x) < 0. Разумеется, там где f(x) = 0 отношение f(x)/|f(x)| не определено и на графике будет «прокол».
Почему так получается, показать легко:
Надо сказать, что само по себе описанное в правиле частное в визуальном плане даёт несколько унылый результат – взгляните на вот такой конкретный пример:
Гораздо интереснее применение отношения функции к её модулю в качестве части более сложных выражений.
Рассмотрим функцию
Она описывает «верхнюю» половину окружности радиусом 2 с центром в точке (1; 0). Выражение x/|x| равно единице при x > 0 , а при отрицательных значениях аргумента оно даёт –1. Заменив 1 в y(x) на x/|x| мы получим новую функцию, график которой при положительных x совпадает с частью графика исходной, а при отрицательных – описывает часть окружности с радиусом 2, но с центром в точке (–1; 0).
Ещё при помощи отношения функции к её модулю можно подобрать выражение g(x), которое даёт ноль или единицу в зависимости от знака f(x):
Умножением на g(x) можно «занулять» отдельные части графиков. Ниже приведён пример, где у экспоненты часть линии при x∈ (–1; 1) как бы «вырезали» и «уронили»на ось абсцисс:
Правило 6(ф)
График функции
представляет собой части графика y = f(x) на промежутках значений аргумента, где f(x) ⩾ 0 (f(x) ⩽ 0).
Покажем почему так получается. На выражение, стоящее под знаком квадратного корня накладывается требование неотрицательности, чтобы выражение функции в целом имело смысл. Например, если
то должно быть
f(x)·|f(x)| ⩾ 0
Модуль всегда неотрицателен. поэтому чтобы произведение f(x)·|f(x)| также удовлетворяло данному условию, нужно потребовать неотрицательность f(x) – в этом случае будет |f(x)| = f(x). Отсюда:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik