Четвёртая публикация из цикла, посвящённого советам по построению графиков функций. С предыдущими можно ознакомиться здесь:
1. Правила 1(ш)-8(ш) / 2. Правила 1(ф)-3(ф) / 3. Правила 4(ф)-6(ф)
Следствием Правила 6(ф) является другой приём, требующий отдельного рассмотрения.
Правило 7(ф)
График функции
представляет собой часть графика y = f(x) при x ⩾ a.
В задании А-74 было показано, что при соблюдении условия x ⩾ a справедливо равенство
поэтому замена x таким выражением в f(x) накладывает ограничение на допустимые значения аргумента. Строго говоря для этого достаточно в самом выражении заменить только какой-то один x :
1) Возьмём функцию
y = 2|x| + x
2) Потребуем, чтобы аргумент мог принимать только значения, удовлетворяющие условию x ⩾ –1:
График получившейся функции изображён на рисунке:
Хотелось бы отметить, что такую линию можно описать по другому – при помощи системы, которой равносильно приведённое выражение для функции:
Как видно, Правило 7(ф) позволяет «втиснуть» дополнительное условие в выражение самой функции, неявно заложив его там. За счёт этого становится возможным не прибегать к описанию через систему, хотя такой подход может сделать запись более громоздкой.
Разумеется, возможна разновидность правила, где на область определения налагается требование вида x ⩽ a :
Условие, накладываемое Правилом 7(ф), выражается нестрогим неравенством. Если же при подборе выражения функции понадобится неравенство строгое, то можно использовать другой приём.
Правило 8(ф)
График функции
представляет собой часть графика y = f(x) при x > b (также подразумевается, что a > 0 и a ≠ 1).
Приём проистекает из следующих простых преобразований, верных при соблюдении требования x > b (выражение под логарифмом должно быть положительным):
Правило 9(ф)
График функции
представляет собой часть графика y = f(x) при a ⩽ x ⩽ b.
Покажем, почему это так. Аргумент арксинуса может иметь значения от –1 до 1, поэтому
⇔ 0 ⩽ 2·(x– a) ⩽ 2·(b– a) ⇔
⇔ 0 ⩽ x– a ⩽ b– a ⇔ a⩽ x⩽ b
Поскольку при –1 ⩽ t ⩽ 1 соблюдается равенство t = sin(arcsin t), выполним преобразования вот такого выражения:
Таким образом
Итак, разобранный приём позволяет искусственно ограничить функцию в пределам значений аргумента на отрезке [a; b]. По аналогии с Правилом 7(ф) достаточно в выражении f(x) заменить только какой-то один x .
Частным случаем Правила 9(ф)является отрезок [–a; a]:
y = f(a·sin(arcsin(x/a)))
Простейший вариант подобной функции разбирался в задании А-62:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik