Заключительная публикация из цикла, посвящённого советам по построению графиков функций. С предыдущими можно ознакомиться здесь:
1. Правила 1(ш)-8(ш) / 2. Правила 1(ф)-3(ф) / 3. Правила 4(ф)-6(ф) / 4. Правила 7(ф)-9(ф) / 5. Правила 1(у)-3(у)
Остаётся рассмотреть парочку рекомендаций, относящихся к построению графиков неравенств и их систем.
Правило 1(н)
График неравенства
|y| < f(x)
представляет собой совокупность областей на плоскости, заключённых между симметрично расположенными частями линий графика уравнения |y| = f(x).
Правило следует из равносильных преобразований, связанных с раскрытием модуля:
Точки самой линии |y| = f(x) в график неравенства не входят, так как оно является строгим и на схеме это изображается пунктиром. Некоторые примеры графиков нестрогих неравенств рассмотрены в разборе задания А-27, вот один из них:
Правило 2(н)
Если F₁(x, y), F₂(x, y), … , Fₙ(x, y) – некоторые выражения, содержащие переменные x и y, то графиком неравенства вида
F₁(x, y)·F₂(x, y)· … ·Fₙ(x, y) > 0 (или F₁(x, y)·F₂(x, y)· … ·Fₙ(x, y) < 0)
будет объединение графиков систем неравенств, каждая из которых содержит одну из возможных комбинаций знаков для выражений F₁(x, y), F₂(x, y), … , Fₙ(x, y) с учётом значений x и y, при которых выражение исходного неравенства имеет смысл.
Описанный приём подобно Правилу 3(у) также позволяет конструировать «математических Франкенштейнов», обладая при этом своеобразной чертой: некоторые комбинации знаков для выражений типа F(x, y) могут приводить к системам неравенств, не имеющих решений, то есть равносильных пустому множеству.
Приведённые формулировки звучат довольно пространно, да и изобразить общую схему того, как выглядит график неравенства-«Франкенштейна» также затруднительно, поэтому для большей понятности разберём применение Правила 2(н) на конкретном примере. Рассмотрим соотношение
x·y·(y – x) > 0
Возможно четыре комбинации, при которых произведение трёх величин x, y и
x – y является положительным:
Получающаяся после второго равносильного перехода третья система неравенств не имеет решений и потому легко может быть исключена из объединения. Графики каждой из оставшихся систем образуют области в первом, четвёртом и третьем квадрантах соответственно, что показано на рисунке ниже, а вместе они образуют график довольно простого (в смысле громоздкости записи) соотношения:
В целом Правило 2(н) примечательно тем, что в некоторых случаях позволяет выполнять описание множества точек одним неравенством, а не их системой (ниже приведён подтверждающий это пример из задания А-109), что в некотором смысле «роднит» рассмотренный приём с Правилами 7(ф), 8(ф), 9(ф) и 3(у).
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik