Данная статья является текстовой версией опубликованного на этом же канале видео.
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Сегодня поговорим о теореме Пифагора. Я не буду рассказывать об истории этого вопроса, лишь приведу три очень распространенных доказательства этой теоремы.
Прежде всего, напомню несколько важных утверждений. Первое. Умножение числа само на себя - это возведение его в степень два или, по другому квадрат числа. Почему квадрат? Потому что у геометрической фигуры квадрат все стороны равны, и площадь квадрата определяется как умножение длины одной стороны на саму себя.
Второе. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.
Третье. Сумма внутренних углов треугольника равна половине полного оборота, то есть ста восьмидесяти градусам.
Четвертое. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Это означает, что длины сторон первого треугольника пропорциональны соответствующим длинам сторон второго треугольника, и коэффициент пропорциональности, или, другими словами, коэффициент подобия, един для всех трех сторон.
Пятое. Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один угол равен четверти полного оборота, то есть 90 градусов. Такой угол называют прямым. Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
Шестое. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Седьмое. Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов слагаемых и удвоенному произведению этих слагаемых.
На эти утверждения мы будем опираться при доказательстве теоремы Пифагора, которая гласит, что у прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Первое доказательство.
Оно первое не потому что самое главное, а исходя из моих предпочтений.
Имеем прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Построим два одинаковых квадрата со сторонами равными сумме длин катетов исходного прямоугольного треугольника.
На сторонах первого квадрата отложим длины катетов. Эти отрезки дают нам на каждой стороне разделительную точку, указывающую, где заканчивается один отрезок и начинается другой.
Соединим эти четыре точки между собой. Чему равны эти вновь появившиеся отрезки? Давайте разбираться.
Возьмем левый нижний треугольник. Две стороны, прилегающие к прямому углу, равны катетам исходного треугольника. Помните: две стороны и угол между ними равны, значит, треугольники равны. И противолежащая прямому углу сторона, оказывается равной гипотенузе изначального треугольника.
Это справедливо и для двух верхних треугольников и для нижнего правого. Так мы выяснили, что фигура внутри квадрата - ромб.
Сумма зеленого и синего угла составляет 90 градусов, поскольку это два непрямых угла исходного треугольника (сумма всех углов треугольника 180 градусов). А любая точка на прямой представляет собой вершину угла размером 180 градусов, следовательно, прилегающий к точке внутренний угол ромба равен 90 градусов.
Повторив эти рассуждения для остальных углов ромба, приходим к выводу, что все внутренние углы ромба равны 90 градусов. Внутри квадрата с длиной стороны a + b мы получили квадрат с длиной стороны равной гипотенузе c.
Второй квадрат разделим на четыре прямоугольника. Два из них - это квадраты со сторонами a и b, а два других одинаковых прямоугольника имеют длины сторон a и b.
Диагонали этих прямоугольников разбивают их на четыре треугольника, каждый из которых равен исходному прямоугольному треугольнику.
Площади двух больших квадратов равны. Если мы уменьшим их площади на одну и ту же величину, равенство сохранится. В каждом квадрате избавимся от четырех одинаковых треугольников.
Получается, площадь внутреннего квадрата, которая равна квадрату гипотенузы, эквивалентна сумме площадей двух квадратов, каждый из которых равен квадрату соответствующего катета. Теорема доказана.
Второе доказательство.
Снова построим квадрат со стороной равной сумме длин двух катетов. Как и в предыдущем доказательстве, разобьем этот квадрат на четыре равных прямоугольных треугольника и внутренний квадрат. Четыре треугольника равны исходному, а сторона внутреннего квадрата равна гипотенузе этого же треугольника. Площадь большого квадрата равна a + b умножить на a + b или иначе (a + b) в квадрате.
Площадь внутреннего квадрата - это c в квадрате.
Площадь одного треугольника половина от произведения a на b.
Составим простое равенство, которое подтверждает очевидный факт, что площадь большого квадрата равна сумме площадей малого квадрата и четырех треугольников. (a + b) в квадрате равно c в квадрате плюс четыре половинки от произведения a и b.
Раскроем квадрат суммы, а в правой части выражения избавимся от дроби четыре вторых. Обе части выражения уменьшим на два произведения ab.
Получим: a в квадрате плюс b в квадрате равно c в квадрате. Теорема доказана.
Третье доказательство.
У исходного прямоугольного треугольника из вершины с прямым углом построим перпендикуляр к гипотенузе. У нас получились три треугольника. Исходный и два треугольника: фиолетовый и зеленый. Все три треугольника подобны.
Зеленый треугольник подобен исходному, потому что один угол у них общий, а второй равен 90 градусов.
Фиолетовый подобен изначальному треугольнику по той же самой причине, только общим теперь является другой угол. Ну, а фиолетовый и зеленый подобны друг другу, потому что они оба подобны исходному.
Перпендикуляр делит гипотенузу первоначального треугольника на два отрезка: c1 и c2. Тогда мы можем составить две пропорции.
a разделить на c, то же самое, что c1 разделить на a.
И вторая пропорция. b разделить на c - это c2 разделить на b.
У первого выражения обе части умножим на a, у второго на b.
Затем обе части двух равенств умножим на c.
Просуммируем оба равенства друг с другом.
В правой части выражения вынесем c за скобку. В скобках получим сумму (c1 + c2), то есть просто c.
И мы снова пришли к выражению: a квадрат и b квадрат в сумме дают c квадрат. Теорема доказана.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.