На основании BC равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D. Точки M и N симметричны D относительно прямых AB и AC соответственно, точка E симметрична D относительно биссектрисы угла A. Найдите угол MEN, если ∠ABC=68∘.
Тот факт, что М симметрична D относительно АВ, означает, что из D можно провести перпендикулярную к АВ прямую и на ней DX будет равно MX.
Перпендикуляры к AB и AC из точки D, образуют 2 прямоугольных треугольника BDX и DCX1, у которых углы В и С по 68 градусов, значит углы D по 22 градуса.
Таким образом получается угол MDN = 136 градусов (180-22-22).
Далее, имея отрезок MD с серединным перпендикуляром АХ, очень хочется дорисовать к этой конструкции равнобедренный треугольник MAD.
То же самое можно сделать с отрезком DN и серединным перпендикуляром AX1.
И на рисунке не дорисовано, но ADE это тоже равнобедренный треугольник, потому что по условию расстояние от биссектрисы угла А (она же серединный перпендикуляр) до точек D и Е равны.
Таким образом получается, что точки M, D, E и N лежат на окружности с центром в точке А.
И получается что углы MDN и MEN опираются на один отрезок MN и напоминаю, что при этом D и Е лежат на одной окружности. А это значит, что углы MDN и MEN равны.
Вспоминаем, что MDN мы уже вычислили.
Ответ: 136
