Программа по математике

Лаборатория целостного образования

МАШИНА ПОДГОТОВОК

Программа по математике 1 – 11 классы

ПОЯСНЕНИЯ

1. Данная программа использовалась в 1994 - 1997 гг в Народной школе. Пользуясь ей, ученики могли свободно опережать программу на несколько лет, получая глубокие прочные знания.

2. С тех пор программа очень изменилась. Например, в базовый уровень вошли модули "Логика и геометрические построения", разработанные Владимиром Сторожевым. В данной статье мы не можем рассмотреть ни эти усиления, ни методические приёмы, характерные для Машины подготовок. Но и в таком виде программа может пригодиться тому, кто осваивает математику самостоятельно.

Модуль программы "Логика и геометрические построения для детей 7-9 лет.

3. Программа включает 28 модулей, на большинство модулей уходит один месяц проработки (при 5 учебных занятиях в неделю, плюс самоподготовка).
Если стартовый уровень ученика не нулевой, то время освоения не 28 месяцев, а меньше. В нашей практике были рекордные случаи, когда человек практически с нулевой стартовой подготовкой подготовил себя к сдаче выпускного экзамена за 1,5 года, но это всё же исключение. Условно нормативное время освоения школьной математики при неспешной регулярной работе составляет около 7 лет вместо 11, при этом качество получается намного выше. Некоторые модули осваиваются не за месяц, а чуть больше - к примеру, техника устного счёта шлифуется около года, но при этом можно параллельно изучать новый материал.

4. Данная программа - базовая, она обеспечивает освоение лишь образовательного минимума, хотя и в пределах курса средней школы. Для тех учеников, для которых математика является узкой специализацией, программа другая. Кроме того, в реальной практике мы обычно сильно повышаем этот уровень. К примеру, в разделе "Операции с дробными числами" планка сложности у нас примерно такая:

Задания из сборника М.И.Сканави для поступающих во ВТУЗы.

5. В данной программе нет разделов, ставших модными после 1994 года, либо эти разделы носят лишь ознакомительный характер - теория множеств, математическая статистика и др. При необходимости эти несколько разделов можно освоить дополнительно.

МОДУЛИ

1 класс

Здесь и ниже деление на классы условно, с учетом современной практики. В технологии «Машина подготовок» создаётся бесклассовое общество.

М.1. Идея счета.

Счет до 20 и далее. Прямой и обратный счет. Количество предметов. Свойства предметов (цвет, форма, размер…). Состав числа (особое внимание – составу числа 10). Сравнение чисел, больше и меньше. Числовой луч (ознакомительно). Число 0 – что означает? Натуральные числа, ряд натуральных чисел. Представление о бесконечности. Что можно посчитать натуральными числами? Что невозможно посчитать натуральными числами?

Погружение 1. Натуральные числа: представления, образы, понятия. Исследование.

М.2. Состав чисел. Десятичная система счисления

• Состав чисел.
• Счет десятками, сотнями, тысячами.
• Разряды и классы.

Погружение 2. Математика вокруг нас. Кто что понимает про математику? Какие ограничения есть у математики? Почему математика важна? Где, в каком пространстве существует математика? Можно ли заметить математику в реальной жизни? В каких вопросах математика не работает?

М.3. Сложение и вычитание натуральных чисел. Сравнение чисел

• Сравнение чисел. Числовой луч. Понятия и знаки: больше, меньше, равно.
• Сложение и вычитание натуральных чисел.
• Увеличение и уменьшение чисел на А единиц.
• Приемы, упрощающие вычисления.

2 класс

М.4. Умножение и деление натуральных чисел

• Увеличение и уменьшение чисел «в N раз».
• Умножение натуральных чисел. Приемы, упрощающие вычисление.
• Моделирование умножения на примере площади прямоугольников.
• Деление натуральных чисел. Приемы, упрощающие вычисления.
• Свойства умножения и деления (ознакомительно).
• Таблица умножения.
• Калькулятор (для чего он нужен?).
• Техника устного счёта.

Погружение 3. Удивительная геометрия

• Точка. Кривая и прямая линии. Ломаная линия. Свойства прямой линии. Выстраивание понятий.
• Отрезок. Сравнение отрезков.
• Угол. Виды углов. Сравнение углов. Измерение углов.
• Геометрические фигуры: квадрат, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, треугольник. Задачи на построение. Исследование свойств геометрических фигур.

М.5. Математические выражения

• Числовые и буквенные выражения, порядок действий в них, использование скобок. Значение выражения. Сравнение выражений.
• Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный – на материале числовых и буквенных выражений.

М.6. Линейные уравнения. Часть 1.

• Уравнение как равенство с неизвестным.
• Решение простейших линейных уравнений с одним неизвестным.
• Понятие корня уравнения. Решить уравнение – это значит найти все его корни.

Погружение 4. Удивительная геометрия

• · Круг и окружность. Центр, радиус, диаметр, хорда, сектор, сегмент.
• · Решение задач на построение
• · Экспериментальное вычисление числа п = 3,142... (десятичная дробь – это опережение программы, здесь – в виде знакомства).

М.7. Площадь геометрической фигуры. Периметр. Объём.

• Периметр многоугольника. Длина окружности.
• Площадь прямоугольника.
• Решение задач на нахождение площади и периметра геометрических фигур.

М.8. Задачи на движение и подобные им

• Формула пути
• Единицы измерения расстояний, времени, скорости и их преобразования
• Задачи на движение
• Задачи, решаемые аналогичным способом (производительность труда и т.п.)

Погружение 5. Измерение и исследование площади треугольника.

Задача 1. Нахождение площади прямоугольного треугольника.

Задача 2. Исследование площади прямоугольного треугольника.

Задача 3. Нахождение площади произвольного треугольника.

Задача 4. Исследование площади произвольного треугольника.

3 класс

М.9. Делимость натуральных чисел

• Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15 (без остатка).
• Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители.
• Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
• Деление с остатком

М.10. Линейные уравнения. Часть 2.

• Решение «сложных» линейных уравнений, когда неизвестное входит в уравнение несколько раз, причем может встречаться в обоих частях уравнения, либо необходимо выполнить действия со скобками, в том числе – с «большими» числами (больше 100).
• Навык устного решения таких уравнений.

М.11. Рациональные числа. Модуль числа. Среднее арифметическое.

• Целые числа: положительные, отрицательные и нуль. Числовая прямая.
• Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел.
• Арифметические действия с рациональными числами.
• Среднее арифметическое

Погружение 6. Системы счисления.

Знакомство с различными системами счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Применение двоичной системы в цифровой технике.

М.12. Часть числа. Дробные числа. Часть 1.

• Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сравнение дробей.
• Правильные и неправильные дроби. Выделение целой части из неправильной дроби.
• Арифметические действия с обыкновенными дробями с различными знаменателями (относительно простые случаи).
• Нахождение части от целого и целого по его части (относительно простые случаи).
• Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Приемы вычислений.
• Представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной.

4 класс

М.13. Проценты и пропорции.

• Отношение величин, пропорция.
• Процент – это одна сотая часть числа.
• Решение задач на проценты.

М.14. Линейные уравнения. Часть 3.

• Геометрический смысл линейного уравнения и его корня.
• Задачи, решаемые с помощью линейных уравнений.

Погружение 7. Удивительная геометрия

· Замечательные линии в треугольнике и свойства треугольника

М.15. Дробные числа. Часть 2.

Ещё один модуль отводим на закрепления важного навыка – выполняем все действия с дробными числами. Здесь же знакомимся с алгебраическими дробями.

М.16. Задачи на стоимость, проценты, капиталы, отношения величин, пропорции

Погружение 8. Проведение измерений (в т.ч. практические работы на природе)

• Проведение измерений различными способами; использование соответствующих приборов и инструментов для решения практических задач.
• Работа с простейшими готовыми предметными, знаковыми, графическими моделями для описания свойств и качеств изучаемых объектов.
• Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире.
• Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений.

М.17. Степень с натуральным и целым показателем. Квадратный и кубический корни.

• Понятие степени. Свойства степени.
• Действия со степенями.
• Квадратный и кубический корни. Свойства корней. Решение задач.

Погружение 9. Действительные числа.

• Этапы развития представления о числе. Исследование.
• Понятие о корне n-ой степени из числа. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора. Запись корней с помощью степени с дробным показателем.
• Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел, арифметические действия над ними.

М.18 Многочлены. Рациональные выражения, их преобразование

• Алгебраические выражения и их преобразования. Допустимые значения переменных.
• Сложение, вычитание, умножение и деление многочленов.
• Разложение многочлена на множители.
• Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями.
• Многочлены с одной переменной. Степень многочлена.
• Тождества. Формулы сокращенного умножения (с доказательствами).

М.19. Уравнения второй степени (квадратное уравнение) и высших степеней

• Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения.
• Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.
• Теорема Виета. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене.
• Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители. Графический способ решения уравнений.

М.20. Системы уравнений различных степеней

• Уравнение с несколькими переменными. Графический смысл решения.
• Система двух линейных уравнений с двумя переменными первой степени; решение подстановкой, алгебраическим сложением. Геометрический смысл и способ решения.
• Система нескольких уравнений с несколькими переменными.
• Системы уравнений с несколькими переменными второй степени.

М.21. Решение неравенств

• Неравенство с одной переменной. Строгие и нестрогие неравенства.
• Линейные неравенства с одной переменной и их системы.
• Квадратные неравенства.
• Доказательство неравенств.

М.22. Координаты чисел (данный раздел был в значительной степени освоен при изучении более младших блоков – например, при решении уравнений геометрическим способом). Здесь потребуется лишь обобщить и систематизировать полученные ранее знания.

• Изображение чисел точками координатной прямой. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч. Формула расстояния между точками координатной прямой.
• Декартовы координаты на плоскости; координаты точки. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых. Уравнение окружности с центром в начале координат и в любой заданной точке.

М.23. Числовые последовательности

• Понятие последовательности.
• Арифметическая и геометрическая прогрессии.
• Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий.
• Метод математической индукции.

М.24. Числовые функции, графики и диаграммы

• Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций.
• Представление зависимости между величинами в виде формул. Графики.
• Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов.
• Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии.
• Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Гипербола.
• Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.
• Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост. Числовые функции, описывающие эти процессы.
• Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей.
• Столбчатые и круговые диаграммы.

М.25. Тригонометрические функции и их графики

• Радианная мера угла. Тригонометрические функции и их свойства
• Синусы и косинусы углов 0, 30, 45, 60, 90, 180.
• Тригонометрические тождества, выражения, уравнения.
• Начальные тригонометрические задачи.

Погружение 10. Множества и комбинаторика

• Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.
• Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.
• Бином Ньютона.

Погружение 11. Статистические данные

• Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Сравнение результатов измерений. Статистический вывод на основе выборки. Погрешность измерений.
• Статистические методы обработки информации.

Погружение 12. Вероятность событий

• Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности.
• Решение задач из теории вероятности.

М.26. Тригонометрические задачи, практика.

Погружение 13. Векторы

М.27. Логарифмирование

• Понятие логарифма.
• Свойства логарифмов с доказательствами.
• Показательная функция.
• Метод логарифмирования.
• Десятичный логарифм.
• Задачи на логарифмирование. Логарифмические уравнения и неравенства.

М.28. Первообразная и интеграл

• Нахождение площади криволинейной трапеции.
• Производная. Понятие первообразной функции.
• Нахождение производных, таблица производных.
• Задачи на исследование функций.
• Определённый и неопределённый интеграл ∫

Погружение 14. Практика. Применение математических методов исследований.

После сдачи зачетов по всем модулям можно приступать к решению задач формата ЕГЭ, не раньше. При этом ни в коем случае не ограничиваться этими форматами.

Переход к освоению курсов «Планиметрия» и затем «Стереометрия» рекомендуется начинать после получения зачета по модулю 17. Стартовый курс в начале «Планиметрии» называется «Логика и геометрические построения» и занимает около 1 года.