Балка на упругом основании - балка, лежащая (опирающаяся по всей своей длине) на сплошном упруго деформируемом основании.
Например, это могут быть балки ленточного фундамента, шпалы, рельсы и корабли (для них основанием является водная поверхность).
Представляют, что балка уложена на упругое основание - балка уложена на постель из материала, способного сопротивляться как силам, действующим вниз, так и силам, действующим вверх.
При деформировании балки вдавливаются в основание, в результате чего возникает реакция, распределенная по их подошве. Величина этой реакции зависит от прогиба.
(Предполагают, что при изгибе такой балки основание в каждой точке оказывает на балку реакции, пропорциональные прогибу балки в этой точке)
Таким образом, балка на упругом основании является статически неопределимой конструкцией. Степень статической неопределимости равна бесконечности, так как эпюра прогибов, а следовательно, и эпюра отпора основания имеет бесконечно большое число неизвестных ординат по длине балки.
При таких условиях, реакция, приходящаяся на единицу длины балки, может быть представленавыражением R(х)=-К * у(х).
Здесь:
R(x) - реакция основания, приходящаяся на единицу длины балки, (Н/м)
у(х) - прогиб (просадка основания), м
К = (К1) *b , где b - ширина подошвы балки, м
К1 - коэффициент, характеризующий жесткость основания (коэфициент податливости основания)(коэффициент постели), МПа/м
(величина реакции, приходящейся на единицу длины балки при прогибе, равном единице)
(отнесённое к единице длины (1 см) сопротивление грунта оседанию, когда оседание равно 1)
Предположение ввести в расчет коэффициент пропорциональности, выражаемый через, «коэффициент постели» , было впервые сделано Н.И. Фуссом в 1801 году (модель местных упругих деформаций, развитая позже Э. Винклером в 1867 г.).
Расчёт балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании, приводится к интегрированию выражения:
здесь:
E - модуль упругости материала балки
I - Момент инерции площади её поперечного сечения
К - отнесённое к единице длины (1 см) сопротивление грунта оседанию, когда оседание равно 1
(величина реакции, приходящейся на единицу длины балки при прогибе, равном единице)
(коэффициент упругого основания)
F(x) - внешняя нагрузка на балку, отнесённая на погонную единицу длины
(интенсивность заданной сплошной нагрузки)
y - прогиб балки, в точке которой абсцисса равна х. Абсциссы считаются от одного из концов балки, длина которой равна L
При расчете балок на упругом основании поступают следующим образом. В качестве основной неизвестной принимают функцию прогибов балки у(х), которая находится путем составления и решения дифференциального уравнения изогнутой оси. Изгибающие моменты и поперечные силы находятся потом по формулам М = Ely"; Q = Ely'".
Если балка (стержень) опирается на ряд близко расположенных упругих опор, то в большом ряде случаев, можно получить достаточно точные результаты, если считать, что балка лежит на сплошном упругом основании.
При расчёте рельс, подвергающихся действию системы сосредоточенных грузов:
рельсы лежат на упругих поперечинах, но, при встречающихся на практике густоте расположения шпал и жесткостях рельс, можно получить достаточно точные результаты, если упругие опоры условно заменить сплошным упругим основанием. (количество опор рельс велико, а расстояние между опорами мало по сравнению с длиной рельс)
При расчёте килевой балки кораблей, когда нужно определить напряжения от давлений, передаваемых балке поперечными водонепроницаемыми переборками при постановке судна на киль:
эти давления можно считать сосредоточенными силами, а роль основания в этом случае будет играть набор кильблоков и положенный на них настил.
При расчёте коротких балок на упругом основании (например, рельсовый путь на шпалах) требуется учесть условия на обоих концах балки.
Ход расчёта балки зависит от свойств основания и их математического описания.
Для расчёта балок на упругом основании могут быть использованы разные модели оснований:
- Модель основания Винклера
(гипотеза Винклеровского основания - гипотеза о пропорциональной зависимости между реакцией и осадкой)(Winkler foundation model, 1867)
По данной модели под стержневые связи следует поставить "пружины", работающие независимо друг от друга, опирающиеся на непроседающее основание.
Не позволяет рассчитать осадку основания вне подошвы балки
Может быть успешно применена для слабых оснований (например, песок, глина), недооценивает осадки для жестких оснований (например, скальных) - нужны более сложные модели.
Подробнее о модели винклера можно прочитать здесь: ссылка
- Модифицированные версии модели Винклера
Например, двухпараметрические модели - модель Пастернака, модель Власова-Леонтьева (добавляют взаимодействие пружин - связи между "пружинами" для учёта сдвигов)
О модели основания Пастернака можно прочитать здесь:
- Модель упругого полупространства
Более реалистичная - однородное полупространство с учётом теории упругости (осадки распределяются за пределы подошвы)
(Модель Буссинеска, модель Boussinesq-Flamant)
О модели упругого полупространства можно прочитать здесь:
- Подбор заменяющего полупространства
В данном подходе сначала рассчитывают осадки основания под подошвой балки по модели Винклера, а далее оценивают просадки основания и вне подошвы балки путём подбора полупространства с эпюрой перемещений, совпадающей с полученной для модели Винклера.
Метод подбора (equivalent half-space): подбор заменяющего полупространства для оценки осадок вне подошвы по результатам расчёта по методу Винклера (поиск совпадения эпюр перемещений с моделью Винклера).
То есть решают по модели Винклера, затем калибруют параметры полупространства по осадкам под балкой. Это позволяет расширить применение модели Винклера.