В начале года я рассказывал в этом блоге о краях ленты Мёбиуса:
Там, кроме всего прочего, упоминалось о мыльных плёнках в форме этой односторонней поверхности. Получить их достаточно просто, но оказалось, что такие мыльные плёнки могут заключать в себе загадку, требующую специальной техники и нетривиальной математики для её разрешения.
Как известно, мыльная плёнка решает уравнение Лапласа для заданной геометрии граничных условий, к которой сводится вариационная задача поиска минимума поверхностной энергии. Эта задача известна как задача Плато. По мере изгибания проволочного края, энергия плёнки с топологией ленты Мёбиуса в какой-то момент становится равна, а потом и превышает энергию плёнки с топологией простого диска (и имеющую форму винтовой поверхности — геликоида). Это заставляет плёнку поменять свою топологию через бифуркацию (на видео выше это происходит в моменты 0:9 и 0:32). Однако непрерывно такой переход сделать невозможно, на то она и топология, чтобы сохраняться только при непрерывных преобразований. Так что можно ожидать, что плёнка при достижении бифуркации будет просто лопаться, но в эксперименте можно наблюдать мгновенный переход от плёнки Мёбиуса к диску, не разрушающий плёнку.
В 2010 году в журнале Applied Mathematics вышла статья Soap-film Möbius strip changes topology with a twist singularity, написанная Раймондом Гольштейном и Кейт Моффат с соавторами, посвящённая детальному исследованию такого перехода. Оказалось, что он происходит через образование особой сингулярности на границе, в которой плёнка перестаёт быть многообразием.
Интересно, что особую роль в этом топологической бифуркации играет край ленты Мёбиуса его зацепление с проволокой. Дело в том, что когда плёнка имеет форму листа Мёбиуса, то одномерное многообразие точек, находящихся на плёнке в непосредственной близости от проволоки (граница Плато, названа в честь Жозефа Плато, проводившего опыты с мыльными плёнками) образуют с проволокой нетривиальное зацепление, оборачиваясь вокруг неё, как показано на рисунке.
При переходе от односторонней плёнки к двусторонней это зацепление должно превратиться в тривиальное, не разрушив плёнку. Скоростная съёмка показала, что поверхностное натяжение и инерция жидкости плёнки приводят к стремительному сжиманию петли на границе Плато, окружающей проволоку.
Наконец, стягиваясь, граница Плато приходит к самопересечению и превращается в «восьмёрку», у которой бо́льшая петля превращается в новую границу для двусторонней поверхности и не зацеплена с проволокой, а меньшая, зацепленная с проволокой стягивается до предела и «растворяется», становясь частью поверхности плёнки.
Этот переход, обеспечивая минимизацию поверхностной энергии плёнки, заставляет плёнку отойти от правильной геометрии линейчатых поверхностей, которыми хорошо описываются исходное и конечное состояния плёнки вдали от сингулярности.
Меня не перестаёт удивлять то, сколько интересного можно отыскать в простых вещах, если глядеть на них вооружённым глазом!
Ещё больше о ленте Мёбиуса и топологии можно найти в других статьях этого блога: