Предупреждение! Это практический пост. Предлагаемые эксперименты настоятельно рекомендуется провести самостоятельно, и очень желательно, — с детьми! Никакие картинки не дадут того опыта, который можно получить оперируя своими руками! А уж такой радости — и подавно!
Лента или лист Мëбиуса — верный друг всех адептов занимательной математики. Это неориентируемое гладкое двумерное многообразие можно без труда вложить в трёхмерное пространство, склеив из бумажной полоски, а потом эффектно разрезать на потеху публике.
Но кого можно удивить лентой Мёбиуса на этом канале? Знаем, клеили, резали! Но всё же, я надеюсь подарить вам ещё несколько незаезженных топологических инсайтов на эту тему. Для этого, сегодня мы заострим своë внимание не на сторонах ленты, а на еë краях.
Чтобы постичь топологию краёв чего бы то ни было, хорошо бы каким-то образом отделить край от поверхности. Это можно сделать, если вместо бумаги использовать прозрачную плёнку, например, файл для документов, а края отмечать маркером.
Итак, нам понадобятся тонкий скотч, цветные маркеры или фломастеры, ножницы либо канцелярский нож и, главный ингредиент — прозрачная плёнка.
Первые два эксперимента носят разминочный характер.
Эксперимент 0 (медитативный)
👌С помощью указательных и больших пальцев на обеих руках, сформируйте два кольца, подобно мудре муладхара.
👌Внимательно рассмотрите полученные кольца и нараспев произнесите слова: "тривиальное зацепление".
👌А теперь сцепите эти два кольца так, чтобы одно проходило сквозь другое.
👌Прочувствуйте разницу и произнесите слова: "зацепление Хопфа".
А теперь немного серьëзнее. Топология исследует такие свойства математических объектов, которые не изменяются при непрерывных преобразованиях. Если мы посмотрим на сцепленные звенья металлической цепи, то станет ясно, что без разрезания мы не сможем их разъединить, и любые непрерывные деформации (растяжения, сгибания) не освободят звенья от этого соединения. Это значит, что мы имеем дело с какой-то топологической структурой, вернее отношением между замкнутыми линиями (петлями), которое и называется зацеплением.
Простейшие из зацеплений, рассмотренные нами, буквально, на пальцах, именуются тривиальным и зацеплением Хопфа.
Если кольца цепи непрерывным преобразованием никак не разъединить, то для сцепленных пальцев существует преобразование, их разъединяющее. Для этого нужно использовать туловище, и голову, разумеется :) Впрочем, этот известный математический трюк сегодня нам не понадобится.
Зацепления подразумевают что петли могут как-то проходить друг в друга. Это подводит нас к понятию дырки. На математическую формализацию дырки нужно по-хорошему, потратить ещё одну статью, и сейчас мы этого делать будем. Скажем только, что наличие одномерных дырок позволяет зацеплять друг за друга петли так, что без разрезания расцепить их и превратить в тривиальное зацепление никак не получится.
Эксперимент 1
Давайте же, наконец, резать и клеить! Начать исследование стоит с простого цилиндра, для этого склеим ленту без всяких премудростей и перекручивания. У цилиндра совершенно очевидно два края, которые можно раскрасить разноцветными маркерами в два цвета. И эти два края образуют тривиальное зацепление.
Кстати, раскрашивать края удобнее ещё до склеивания, когда плёнка лежит плоская на столе и края видны «невооружённым глазом».
Стоит задать себе вопрос: сколько дырок у цилиндра. Для ответа него, надо выяснить, как можно зацепить с его краями какую-нибудь петлю, скажем, сделанную из шнурка.
Эксперимент 2
Теперь склеим ленту Мëбиуса с подкрашенным краем. На прозрачной плёнке становится ясно видно, что этот край единственный. Более того, покрутив ленту в руках, можно увидеть, что этот край свёрнут в петлю, дважды окружающую дырку в середине ленты. Как ни крути, распрямить эту двойную петлю не получится, еë прочно «держит» дырка, не дающая гладким преобразованием превратить край в простое кольцо.
В том-то и состоит фундаментальная роль дырок в топологии — не выпускать зацепленное! Сквозь дырку ленты Мëбиуса можно пропустить шнурок и убедиться в том, что края ленты дважды огибают его, и надёжно с ним зацеплены.
Нарисуем теперь маркером линию, ровно посередине полоски, лишний раз удостоверившись в том, что у нашей поверхности одна сторона. Лучше сделать это цветом, отличающимся от цвета края. Вертя ленту в руках можно увидеть, что центральная линия, в отличие от края, охватывает дырку в ленте только один раз.
А теперь внимательно посмотрите на центральную линию — она образует с линией края зацепление Хопфа. То есть одна петля проходит сквозь другую.
Поразмыслив, и поверетев ленту в руках, мы можем заключить, что край ленты Мёбиуса оказывается зацеплен с любой петлëй, которая во-первых, принадлежит ленте, а во-вторых, образует с дыркой ленты нетривиальное зацепление. Такие петли можно назвать нетривиальными внутренними петлями.
На этой анимации хорошо видно, что имеется в виду под зацеплением внутренней петли с краем листа Мёбиуса.
Вернитесь к цилиндру и убедитесь в том, что на нём нельзя нарисовать какие-либо внутренние петли, зацепленные друг с другом: они либо пересекаются, либо тривиально висят в воздухе отдельно друг от друга.
К чему же это приводит? Если мы станем разрезать ленту вдоль нетривиальной петли, но не пересекая её, то создадим новый край для узкой ленты Мёбиуса, а старый край при этом отделится и образует новую ленту, образующую с лентой Мёбиуса зацепление Хопфа. Если вы этого ещё не делали, то проделайте непременно!
Эксперимент 3
Разрезав ленту ровно вдоль внутренней петли, нарисованной достаточно толстой, мы сразу получим окрашенный край получившейся поверхности. И тут же убедимся в том, что края у результата снова два, как и у цилиндра, и оба они представляют простые петли. Однако внимательно приглядевшись к линиям, «висящим в воздухе», мы можем увидеть, что эти петли оказались зацеплены друг за друга.
У цилиндра они находились рядом друг с другом, а у новой поверхности одна петля проходит сквозь другую, и никаким непрерывным преобразованием (без использования ножниц), их не расцепить.
Если задуматься об этом впервые, то кажется странным, что у непрерывной поверхности один край проходит сквозь другой край. Для того, чтобы сделать это открытие более очевидным, разрежем получившуюся ленту ещё раз по какой-нибудь внутренней петле, тем самым разъединив еë края. Результат знаком всем юным исследователям ленты Мëбиуса — мы получили две двусторонние ленты, зацепленные по Хопфу.
Эксперимент 4
Лента Мёбиуса перед склеиванием прокручивается на половину оборота. Лента, полученная разрезанием листа Мëбиуса, оказывается скрученной на полный оборот. Естественно выяснить, а что собой представляет лента, скрученная на полтора оборота и во что превращается её край.
Вырежьте, раскрасьте край и склейте такую ленту, а потом внимательно рассмотрите получившуюся линию. Можно разложить ленту на столе или вертеть в руках, главное рано или поздно осознать, что единственный край этой ленты завязан в узел.
Вместо невнятной фотографии, которая толком ничего не демонстрирует, я приведу соответствующую анимацию:
Это простейший из узлов, который в трёхмерном мире нельзя развязать не разрезая верёвки. Называется он трилистником. Лента, которая скручена трижды, заклеивает этот узел поверхностью. Разрезание такой ленты по нетривиальной внутренней петле линии должно породить две зацепленные ленты, также завязанные узлами.
Эксперимент 5 (мокрый)
Исследования краëв и заклеивающих эти края поверхностей можно продолжить, смастерив края всех перечисленных поверхностей из проволоки и заклеивая их мыльной плёнкой. Эксперимент мокрый, небыстрый, но очень увлекательный!
Эксперимент 6 (вкусный)
А если дело происходит не в классе, а дома, то рекомендую позвать маму, приготовить с ней тугое яичное тесто. После чего можно дружно, всей семьëй исследовать топологию традиционного хвороста, который получается из полосок раскатанного теста с разрезами и всевозможными непрерывными преобразованиями.
Делая надрезы и заплетая косички, а потом соединяя противоположные стороны полосок, можно получить хворост самых разных топологий. Рекомендую!
Избавляемся от краëв
Передо мной реализация давнишней моей мечты: распечатанное на принтере вложение листа Мëбиуса с краем, принимающим форму простой петли, окружающей дырку ленты всего один раз. Эта фигура имеет даже своё название: суданская поверхность.
Тем, кому печатать еë не на чем или незачем, я предлагаю поразглядывать эту поверхность со всех сторон на сайте с бесплатными моделями для принтеров или в этом ролике:
Она примечательна не только своей элегантной формой и тем, что делает единственность края листа Мëбиуса очевидной, самое главное еë достоинство в том, что она позволяет представить себе два способа заклеить дырку в ленте Мëбиуса.
Склеивая два листа Мëбиуса по их краям, мы получим бутылку Клейна.
Суданская поверхность представляет собой разрез бутылки Клейна разделяющий еë на два односторонних листа. Очевидно, что приклеить две такие поверхности краями друг к другу можно только, допустив самопересечение получающейся поверхности.
Если же мы заклеим дырку в листе Мëбиуса диском, то получим менее известную среди широкой публики, но гораздо более полезную и популярную среди профессионалов проективную плоскость.
Другие анимации проективной плоскости можно увидеть тут.
И опять же, самопересечения получающейся поверхности будет не избежать. При всей свой экзотичности, геометрия на проективной плоскости имеет очень понятное нам представление в виде ровного поля с линией горизонта, при приближении к которой, видимые нами параллельные линии сближаются и пересекаются в идеальной точке.
* * *
В продолжение темы приглашаю взглянуть на предыдущие заметки, расширяющие традиционный взгляд на одностороннюю звезду популярной топологии:
О пропорциях бумажных листов Мëбиуса и о том, как сложить одностороннюю поверхность из квадратного листа:
О том, как расположить на ленте Мëбиуса и на еë односторонних родственниках 5 и 6 равноудалëнных точек (чего нельзя сделать, ни на плоскости, ни на сфере, ни на цилиндре).
О том, как лента Мëбиуса позволяет зацепить друг с другом нечётное количество шестерëнок, не мешающих друг другу крутиться.