И как сделать так, чтобы цикл из нечётного числа шестерёнок мог крутиться?
Очень хороший кружковский вопрос: если соединить друг с другом несколько шестерëнок, сможет эта система крутиться, или застрянет, как на знаменитой картинке.
Эта задачка красиво вводит в теорию графов, показывая зачем они нужны и что позволяют сделать. Сколь бы сложной не была плоская система одинаковых зубчатых колёс, её можно представить в виде графа с узлами, соответствующими шестерёнкам, и рёбрами, показывающими кто из них с кем соприкасается.
Шестерёнки крутятся только в том случае, если два касающихся друг с другом колёсика вращаются в разные стороны. Если раскрасить чёрным и белым цветом узлы шестерёнок, которые вращаются, соответственно, по часовой стрелке, и против часовой, то условием подвижности всей системы, будет возможность раскрасить все узлы графа в два цвета так, чтобы для любого ребра узлы на разных его концах имели разный цвет. Если такая раскраска возможна, граф называется двудольным.
Любые деревья, то есть, графы без циклов, ничто не мешает раскрасить нужным образом. Проблемы могут возникнуть из-за циклов. Можно показать, что раскрасить двумя красками весь граф можно только если в нём все циклы имеют чётное число узлов. В противном случае раскраска невозможна, и систему шестерёнок заклинит.
Раскрашивание графа с детьми само по себе интересное занятие. Интересно решать обратную задачу: строить систему шестерёнок по произвольному графу. Подумайте, каким плоским шестерёночным системам соответствуют двудольные графы, в виде рёбер правильных куба и ромбододекаэдра?
Впрочем, есть одна хитрая возможность обмануть двудольность графов и построить замкнутый цикл из нечётного количества шестерёнок. У вращения в нашем трёхмерном мире есть одна любопытная особенность: при отражении в зеркале или переворачивании колеса, направление вращения меняется на противоположное.
Для шестерёночных систем на плоскости это свойство никакого значения не имеет, просто отражение или переворачивание поменяет цветами чёрные и белые узлы. А что если шестерёнки расположить не на плоскости, а на ленте Мёбиуса?
Половина поворота, которую мы делаем, когда склеиваем ленту, не сможет изменить цвета узла, но может поменять направление вращения шестерёнки. Таким образом, мне удалось закрутить на ленте Мёбиуса своё любимое число шестерёнок -- 13 штук!
