— Вот статья, напечатайте её, но только на одной страничке, пожалуйста.
— Хорошо! Вот вам одна единственная страничка. Не лист, заметьте, а именно страница, то есть, сторона листа. А другой стороны у неё нет. Пользуйтесь услугами типографии "Енот математик"!
У бумажного листа две стороны, каждую из которых мы называем страницами. Так что напечатать книгу или документ можно с произвольным числом листов, но только с чётным числом страниц. Электронный документ, будучи в известной степени абстракцией, запросто может занимать и одну, и три, и пять страниц, однако, при печати документа с нечётным числом страниц, чётная страница всё равно добавится, хоть и останется белой.
Для того, чтобы напечатать истинный одностраничный документ, Енот математик напечатал текст этой заметки на ленте Мёбиуса, у которой, как известно, только одна сторона. Для этого пришлось сверстать текст в две достаточно узкие колонки, воспользоваться двусторонней печатью и склеить ленту с поворотом.
Лента, или лист Мёбиуса, — неориентируемая поверхность, имеющая одну сторону и один край, — это любимая игрушка тех, кто знакомится и знакомит с занимательной математикой. Кажется, про этот объект уже сказано и написано всё, однако, я хочу поделиться в вами, дорогие читатели, кое-чем не заезженным и неочевидным.
Обычно мы делаем ленты Мёбиуса из бумаги. Не составляет труда свернуть одностороннюю ленту из длинного и узкого бумажного листа. Но чем шире становится лента-заготовка, тем сложнее её свернуть, а начиная с какой-то ширины это будет сделать попросту невозможно. При попытке свернуть такой широкий лист, бумага либо порвётся, либо не позволит ленте сделать необходимые пол-оборота, потому что она практически не растягивается.
Возникает чисто математический вопрос: какое соотношение сторон может иметь бумажная лента, пригодная для сворачивания из неё ленты Мёбиуса?
Бумажный лист нерастяжим, а это значит, что его можно свернуть только в развёртываемую поверхность. Последнее утверждение выглядит тавтологией: "свернуть можно только то, что можно развернуть", но дело в том, что в дифференциальной геометрии развёртываемость определяется через локальные свойства поверхности, так что выяснить развёртываема поверхность или нет, можно глядя на свойства поверхности в отдельных точках, либо исследуя описывающее её уравнение, не пытаясь заниматься оригами. Это полезно при проектировании сложных форм кораблей или зданий, поскольку, если их можно представить, сшитыми из разных развертываемых поверхностей, то изготовить их можно из изначально плоских металлических листов.
Примерами развёртываемых поверхностей могут быть всевозможные цилиндры, конические поверхности, экзотические олоид, сферикон, а так же поверхности, образованные касательными к гладким кривым. Но не всякое вложение поверхности Мёбиуса в трёхмерное пространство будет развёртываемым, так что сегодня мы посмотрим на то, какими могут быть развёртываемые, но не типичные односторонние поверхности.
Несложно провести эксперимент с настоящей бумажной лентой, сворачивая её всё туже и туже, до тех пор пока она не превратится в два конуса, которые при дальнейшем уменьшении длины ленты, начнут сплющиваться и сворачиваться в плотный кулёк, как показано на рисунке:
Эти иллюстрации я взял из статьи Старостина и ван дер Хейдена, вышедшей в 2014 году, и посвящённой сворачиванию различных поверхностей из нерастяжимой ленты.
Предельной формой ленты Мёбиуса будет сложенный втрое равносторонний треугольник, имеющий такую развёртку:
Получается, что в отличие от формата A4, имеющего отношение сторон равным 1:√2, максимально широкая традиционная бумажная лента Мёбиуса может быть сложена из листа с пропорциями 1:√3. Правда, если напечатать текст, используя двустороннюю печать на принтере, и склеить такую максимально компактную одностороннюю статью, прочесть её уже не получится: она будет выглядеть, как плотно сложенный треугольник.
Чуть более читабельный вариант можно получить из ленты с пропорциями 1:3√3, сплющив её так, как показано не рисунке:
А если не ограничиваться прямоугольными лентами, то вариантов развёртываемых односторонних поверхностей станет куда больше:
Сформировать развёртываемую одностороннюю поверхность, можно и из произвольного прямоугольного листа, правда, нетрадиционным способом:
Это примечательное вложение листа Мёбиуса, которое и лентой-то не назовёшь. Обратите внимание на то, что край листа, показанный синей линией, имеет форму простого плоского замкнутого многоугольника. Обычно, при изготовлении одностороннего листа из бумажной ленты, получается край, делающий в пространстве две петли вокруг внутреннего пространства ленты. Поэкспериментируйте с этим способом с помощью цветной бумаги для оригами. Свернув и склеив эту поверхность, разрежьте её по линии, перпендикулярной линии склейки, и посмотрите во что превратится эта односторонняя поверхность.
Впрочем, прочесть что-либо и на таком кульке нет никакой возможности. В конце концов, для того, чтобы напечатать и свернуть текст этой статьи, оставив себе шанс прокручивать ленту, читая текст, я воспользовался стандартным способом и пропорцией 1:4.