За минувшие пандемийные годы кто только не прошёлся по этой картинке, обсуждая невозможность выполнения такого требования на плоскости! Теперь, когда страсти поутихли, мне бы хотелось обсудить естественное математическое развитие этой темы в форме вопроса:
А где и как это возможно? Каким образом в различных топологиях можно расположить максимальное количество точек, так чтобы расстояния между любыми двумя точками было бы одинаковым?
Евклидовы пространства
На плоскости мы без труда разместим три попарно равноудалённые точки по вершинам равностороннего треугольника. Если попробуем поместить четвёртую, то она сможет оказаться лишь в одной из трёх позиций, равноудалённой от двух из трёх уже поставленных точек, однако третья точка при этом оказывается слишком далеко.
Нам как-то нужно отождествить эти три позиции, собрав их "в кучку". На плоскости мы это сделать не сможем, но если сумеем как-то подняться над ней в третьем измерении, то нам удастся собрать все три позиции в одну и получить вершины правильной треугольной пирамиды — тетраэдра.
Добавление пятой точки приведёт нас к таким же рассуждениям и к необходимости как-то собрать в одну точку четыре позиции, равноудалённых от трех граней тетраэдра. Для их отождествления нам потребуется уже четвёртое измерение. Поднявшись в нëм, мы сможем их соединить и получить вершины пятиячейника — четырёхмерного аналога тетраэдра. Так можно продолжать сколько угодно, уходя во всё более высокие размерности.
Метод добавления точек по одной подсказывает нам, что иных множеств с заданным свойством в евклидовых мирах получить не получится. При использовании евклидовой метрики в пространстве размерности n максимальное количество равноудалённых точек равно n + 1. Эти точки будут расположены в вершинах симплексов — простейших правильных многогранниках в евклидовых пространствах. На картинке, вынесенной в заголовок, соответственно, показан трёхмерный случай.
Все эти множества условно можно изобразить в форме графов, в котором рёбра (произвольной длины) соответствуют одному и тому же расстоянию между точками.
Все графы, представляющие симплексы, полные. Это значит, что каждая вершина в них связана рёбрами со всеми другими.
Точки на иных топологиях
Топологически евклидовы пространства устроены очень просто, а что если перейти к иным топологиям? Я ограничусь здесь рассмотрением одномерных и двумерных связных многообразий: таких пространств, которые в каждой точке локально неотличимы от евклидового пространства такой же размерности.
Для одномерных многообразий есть лишь два варианта топологии: вещественная прямая и окружность (петля). На прямой, как мы видели, равноудалены могут быть только две точки, тогда как на петле уже есть возможность расположить третью точку.
Двумерные многообразия
Теперь рассмотрим различные поверхности, с краями и без них. Во всех дальнейших рассуждениях под расстоянием между точками будет пониматься расстояние, измеряемое с помощью евклидовой метрики, но так, чтобы все кратчайшие пути принадлежали исследуемой поверхности. Это можно представить, как расстояния, измеряемые муравьём, ползающим по поверхности с курвиметром, и не имеющим никакой возможности покинуть эту поверхность, подпрыгнув или взлетев.
Отличия от топологии евклидовой плоскости подразумевают то или иное искривление пространства. И тут нас, как котёнка по имени Гав во дворе, поджидают неприятности. Искривлённые метрические пространства бывают коварными и без понимания дифференциальной геометрии и аккуратного использования метрического тензора, лучше туда не лезть, чтобы ничего не напутать. Но задачка-то у нас носит скорее развлекательный характер, как бы обойтись без тензоров, геодезических линий и вариационного исчисления?
Поскольку нас будет интересовать только топология поверхностей, которая, не зависит от такой характеристики, как кривизна, а именно она создаëт сложности в измерениях расстояний, мы можем договориться рассматривать либо развёртываемые поверхности, либо, если это невозможно — плоские топологические модели поверхностей.
Развёртываемой называют поверхность, которую можно изометрично (без искажений размеров и площадей) и взаимооднозначно отобразить на плоскость. Говоря просто, такую поверхность можно обернуть листом бумаги без разрывов и растяжений.
Любую такую поверхность можно развернуть в плоский лист, получив её развёртку, своеобразную карту. На развёртке кратчайшим путём между любыми двумя точками, будет прямолинейный отрезок. При сворачивании такой карты обратно в поверхность иной топологии, отображение этого отрезка на поверхности тоже будет кратчайшим путём между отображениями этих двух точек.
Цилиндрические и конические поверхности
Цилиндром в школе принято называть пространственную фигуру, которая получается при параллельном переносе окружности вдоль прямой, перпендикулярной плоскости, которой окружность принадлежит. Нам же будет совершенно неважно, какой будет кривая, перемещающаяся в пространстве и образующая цилиндр.
Взяв лист бумаги и изогнув его так, как показано на рисунке, мы получим фрагмент цилиндрической поверхности. Так как плоская развёртка и цилиндрическая поверхность изометричны, нам абсолютно неважно какой именно формы будет огибающая кривая. Важно только замкнута она или нет.
Если кривая огибающая цилиндр незамкнута, то поверхность ничем не отличается от плоскости и на ней можно найти только три равноудалённые точки.
В случае замкнутой кривой, на карте такой поверхности две стороны карты отождествляются (склеиваются). При этом можно расположить четыре равноудалённые друг от друга точки так, как показано на рисунке:
Эти точки образуют полный граф с четырьмя узлами и двумя дублирующимися ребрами.
Если мы свернём бумажный лист в кулёк, то получим коническую поверхность. Её можно получить вращением в пространстве прямой, вокруг оси, пересекающей прямую под каким-то углом. Почти на всех конусах можно разместить не более трёх равноудалённых точек, как на петле. Но есть особый случай для конуса с углом между осью вращения и образующей конус прямой равным 30°:
Сфера
Сфера не является развёртываемой поверхностью, но на ней определяется очень хорошая метрика, в которой роль отрезка, соединяющего две точки играет дуга большой окружности. На сфере, как и на цилиндре легко разместить четыре равноудалённые точки.
Лента Мёбиуса
Прямоугольную развёртку можно склеить не только в цилиндрическую поверхность, но и в ленту Мёбиуса. И вот тут нас ждёт неожиданность: появляется возможность разместить пятую точку, равноудалённую от четырёх равноудалённых, не переходя в четвёртое измерение:
Как и должно быть эти точки образуют полный граф пятого порядка. Если мы вложим эту ленту в трёхмерное пространство, воспользовавшись канонической параметризацией ленты Мёбиуса, получится красивая картинка, отражающая топологию, но при этом изменятся расстояния между точками и будет видно, что они не равноудалены.
Для ленты Мёбиуса существует плоское вложение в трёхмерное пространство, изометричное плоскости, и которое легко изготовить из бумаги:
Тор
Если у прямоугольной развёртки склеить две противоположные стороны, то получим топологию тора, но это не даёт никаких преимуществ в отношении размещения равноудалённых точек: их будет только четыре. Изменится лишь граф отрезков, имеющих одинаковое расстояние: он не просто остаётся полным, все его ребра дублируются.
Оставить плоский тор плоским после склеивания возможно, но не так уж и просто. Для этой заметки я покажу не изометричную модель, показывающую как именно располагаются точки и отрезки.
Бутылка Клейна
Так же как и в случае летны Мёбиуса, скручивание развёртки тора позволяет добавить пятую точку. При этом получается односторонняя компактная поверхность без края, которая называется бутылкой Клейна.
Бутылка Клейна тоже не является развёртываемой поверхностью. Приведу здесь красивую параметризацию этой поверхности, описывающее её вложение в трёхмерное пространство. Чтобы не перегружать и без того непростую картинку, покажу здесь только одну линию, соединяющую пять равноудалённых точек. При этом между любыми двумя точками существует кратчайший путь (не показанный здесь), который для всех точек имеет одинаковую длину.
Вещественная проективная плоскость
Есть ещё одна поверхность, которую можно получить, склеивая стороны прямоугольной развёртки: вещественная проективная плоскость. Она получается отождествлением точек, симметричных относительно центра развёртки. Представить её себе непросто, к тому же, подобно бутылке Клейна, она не может быть вложена в трёхмерное пространство без самопересечений.
Проективная плоскость получается склейкой единственного края ленты Мёбиуса с краем диска. По краю ленты Мёбиуса мы смогли расположить пять равноудалённых точек, на диске теоретически можно было бы поместить ещё одну, шестую точку, так чтобы она оказалась на одинаком расстоянии от этих пяти.
Кроме склеивания противоположных точек на краю диска, или заклеивания ленты Мёбиуса, проективную плоскость можно получить из сферы, отождествив все антиподальные точки, то есть, точки, симметричные относительно центра сферы. Это, с одной стороны, позволяет нам задать на проективной плоскости метрику, подобную сферической, а с другой, позволяет строить замощения проективной плоскости правильными многоугольниками. Так определяются абстрактные многогранники: полукуб, полуоктаэдр, полудодекаэдр и полуикосаэдр. Их невозможно склеить из бумаги или нарисовать в объёме, но они могут быть изображены в виде графа, а метрика позволяет говорить о том, что длины ребер этих многогранников одинаковы.
Полукуб интересен тем, что образует множество равноудалённых точек, но расположенных не в вершинах треугольников, а в вершинах квадрата. Благодаря топологии проективной плоскости, кратчайшее расстояние между вершинами, расположенными по диагонали, равно стороне квадрата.
Полуоктаэдр не очень интересен, а вот полуикосоэдр дарит нам рекорд среди множеств равноудалённых точек на компактных двумерных многообразиях: предсказанные шесть точек. Если аккуратно перенести все ребра полуикосаэдра на граф, то станет очевидно, что перед нами полный граф с шестью вершинами.
Существует несколько различных вложений проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство. Для демонстрации множества из шести равноудалённых точек годится то, что называется римской поверхностью:
Опять же, чтобы не перегружать иллюстрацию вместо полного графа я показал только те рёбра, которые на графе обозначены черным цветом.
Последние замечания
1. Хочу обратить ваше внимание на то, что на плоскости полные графы с пятью и более вершинами не могут быть изображены так, чтобы какие-нибудь рёбра не пересекались. Говорят, что такие графы не планарны. Однако, меняя топологию, нам удалось, оставаясь в пределах двумерных поверхностей, сделать планарными полные графы с пятью и даже с шестью вершинами без пересекающихся рёбер.
2. Конечно же, рассмотренную задачу можно решить тривиальным способом. Например, желая на некоторой развëртываемой поверхности расположить, скажем 7 точек, можно просто нарезать одинаковых бумажных ленточек и с помощью степлера или клея соорудить из них полный граф с семью вершинами и 21 ребром. При этом получится огромное количество дырок и эта поверхность будет в известном смысле, избыточной. Она не может уже быть непрерывно отображена на плоскость из-за дырок, и как-либо параметризована. К тому же, опять же, из-за многочисленных дырок, у такого множества равноудалённых точек нет никакой свободы в перемещении по пространству, кроме самых незначительных. Оно в этом смысле самое жёсткое. За исключением конуса, все приведённые выше примеры позволяют свободно перемещать полученные множества по двумерным поверхностям в двух измерениях, с сохранением их ключевого свойства: эквидистанстности.
3. Рассмотренные поверхности можно поделить на два класса: "свободные" и "фиксированные". На свободные не накладывается никаких ограничений: на любой сфере можно разместить четыре эквидистантные точки. Это же относится и к проективной плоскости и к неограниченному цилиндру. В то же время, тор, бутылка Клейна, конус и лента Мёбиуса должны иметь определённые пропорции, для того, чтобы иметь возможность вместить максимальное для своей топологии число равноудалённых точек.
────────────────────────
Хотите, чтобы в вашей ленте Дзена было больше интересных и глубоких материалов? Подскажите алгоритму Дзена, что там нравятся публикации, подобные этой, подпишитесь, поставьте лайк или прокомментируйте.
Давайте формировать информационную среду вместе!
