В отличие от многих своих коллег, Пьер де Ферма был чистым математиком и не занимался другими отраслями науки. Возможно, именно благодаря этому, его вклад во все дисциплины математики настолько обширен и велик.
Главной заслугой Ферма по сей день считается создание новой математической дисциплины – теории чисел. Ученого всегда интересовали арифметические задачи, которые он постоянно загадывал своим современникам и сам, в свою очередь, блестяще решал. В процессе этого решения Ферма открывал новые законы и алгоритмы, которые в итоге и стали основой теории чисел.
Малая Теорема Ферма. Если p- простое число и a− целое число, не делящееся на p, то a p−1−1 делится на p, т.е.
a p−1≡1 (mod p).
Великая теорема Ферма. Для целых чисел n больше 2 уравнение xn + yn = zn не имеет ненулевых решений в натуральных числах.
Ферма установил закономерности для натуральных чисел, которые получили название «арифметические теоремы». Одна из них – это знаменитая Малая теорема Ферма, которая гласит: если число p - простое, то выражение ap-1-1 всегда делится на p. В итоге она стала частным случаем блестящей теоремы Эйлера, который, собственно, и доказал утверждение Ферма.Теорема Лагранжа о сумме четырех квадратов также была сформулирована именно Ферма.
Чтобы доказать еще одну гипотезу Ферма, Эйлер потратил на исследования и размышления без малого 7 лет. Заключалась она в том, что простые числа вида 4k+1 можно представить в виде суммы двух квадратов. При этом, если в простые множители входит число вида 4k+3 , то такое разложение невозможно. Сам Ферма применял в доказательстве «метод бесконечного спуска», который в итоге и восстановил Эйлер по обрывочным записям ученого. В дальнейшем им пользовались Вейль и Пуанкаре.
