Когда я изучал в университете ценные бумаги, одним из самых загадочных для меня показателей была «дюрация». Определение звучало примерно так: «Дюрация - это средневзвешенный срок получения платежей по облигации». Попробуйте набрать в любом поисковике «дюрация облигации» и перейти по ссылке в стиле «дюрация простыми словами».
Со студенческой скамьи меня не покидала мысль: зачем нам считать средневзвешенное время? Что это дает? Еще больше тумана нагоняла формула расчета дюрации, которая обычно бралась с потолка и ее просто нужно было заучить. От формул в стиле «просто запомни, не пытайся вникать» у меня до сих пор изжога. Любая формула должна иметь понятный и практический смысл даже для «гуманитария».
Повторное открытие показателя «дюрация» случилось для меня чуть позже, когда матанализ стал для меня не просто «предметом, который надо сдать», а инструментов для решения задач.
Вспомним формулу расчета приведенной стоимости облигации:
Вспомним также, что приведенная стоимость для конкретного инвестора обозначает максимально допустимую цену покупки облигации. Эта цена зависит от нескольких факторов: купоны, номинал, срок обращения и ставка требуемой доходности.
Теперь предположим, что все инвесторы на рынке идентичные и имеют одинаковую ставку требуемой доходности. Обычно эта ставка - некая средняя ставка по долговым обязательствам на рынке в данный момент.
В предыдущих статьях мы видели, что при росте процентных ставок на рынке цены облигаций снижаются, а при снижении процентных ставок на рынке цены облигаций растут. И здесь возникает важный вопрос: насколько сильно изменение процентной ставки, скажем, на 1 процентный пункт (например, с 9 до 10 процентов) отразится на изменении цены облигации? Интуитивно понятно, что цены облигацию будут реагировать неодинаково на такое изменение ставки требуемой доходности. Здесь и возникает показатель дюрации.
Те, кто хорошо учился в школе, должны помнить, что такое «производная функции». Это скорость изменения функции в точке, или то, насколько изменяется функция при ничтожно малом изменении ее аргумента. В нашем случае, цена облигации - это функция от процентной ставки. И нас интересует, как быстро будет изменяться цена облигации при небольших изменениях процентной ставки.
Таким образом, нам нужно взять производную приведенной стоимости (PV) по переменной r:
Можно обратить внимание, что перед каждым слагаемым появляется множитель в виде порядкового номера периода, в котором ожидается поступление денежного потока по облигации. И формула производной похожа на формулу приведенной стоимости.
Чтобы сделать ее максимально похожей, вынесем за скобку общий множитель:
В таком виде производную использовать не очень удобно, хотя возможно. Во-первых, она принимает достаточно большое значение. Во-вторых, не очень понятны единицы измерения: рубли умножаются на периоды времени и складываются. Что это? Рубле-годы? Копейко-кварталы?
Сделаем еще один трюк: разделим и умножим правую часть на приведенную стоимость облигации:
В итоге мы получаем показатель, который будет измеряться в единицах времени, обычно в годах. Это и есть дюрация:
И если внимательно приглядеться к ее расчету, то это действительно средневзвешенная величина периодов выплат по облигации: 1, 2 и т.д., где удельные веса - это отношение приведенной стоимости отдельной выплаты к суммарной приведенной стоимости облигации.
В итоге, производная приведенной стоимости по процентной ставке будет выглядеть так:
В чем практическое применение дюрации? С ее помощью можно быстро оценить на сколько примерно изменится цена облигации в случае изменения процентных ставок на рынке. Для этого нужно понимать, что изменение цены приблизительно равно умножению производной на изменение процентной ставки:
Если вместо производной теперь подставить выражение, содержащее дюрацию, то получим
Какую процентную ставку следует использовать в знаменателе? Ставку доходности к погашению, расчет которой обсуждали в предыдущей статье:
Для примера возьмем две облигации с одинаковым сроком погашения, но разными выплатами и, следовательно, разной дюрацией:
1) Биржевая облигация АО «Эталон-Финанс» RU000A103QH9 с погашением номинальной стоимости несколькими платежами, что сокращает значение дюрации (т.к. делает получение платежей чуть раньше):
2) Биржевая облигация ООО «Мэйл.ру Финанс» RU000A103QK3 с погашением номинальной стоимости одним платежом.
Показатели двух облигаций сведены в таблицу:
Теперь рассчитаем, как изменится цена каждой облигации, если ставки на рынке возрастут на 1 процентный пункт (т.е. ∆ r составит + 1%):
Эталон-Финанс:
Мэйл.ру Финанс:
Цена облигации с большей дюрацией более чувствительна к изменению процентных ставок: облигация Мэйл.ру Финанс подешевеет на 2,08% (или на 18,28 рублей) в случае роста процентных ставок на 1 процентный пункт, тогда как облигация Эталон-Финанс подешевеет только на 1,30% (или на 11,82 рубля).
Вот так очень просто, зная дюрацию, можно прикинуть риски снижения цены облигации в случае изменения процентных ставок.
В будущем еще поговорим про дюрацию и как ее использовать при построении портфеля облигаций.
