Задача: Докажите, что в любом треугольнике с углами α, β, γ верно равенство: sin^2 (γ) = sin^2 (α) + sin^2 (β) – 2 sin (α) · sin (β) · cos (γ)
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Начертим треугольник со сторонами a, b и с, напротив которых соответственно лежат углы α, β и γ.
По теореме косинусов c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos γ
По теореме синусов sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c ⇒ a = c * sin(α)/sin(γ) и b = c * sin(β)/sin(γ). Полученные значения a и b запишем в первое выражение:
c^2 = (c * sin(α)/sin(γ))^2 + (c * sin(β)/sin(γ))^2 - 2 * c * sin(α)/sin(γ) * c * sin(β)/sin(γ) *cos (γ)
c^2 = с^2 * sin^2 (α)/sin^2 (γ) + c^2 * sin^2 (β)/sin^2 (γ) - 2c^2*sin(α)*sin(β)*cos (γ)/sin^2(γ)
c^2 = c^2(sin^2 (α)+sin^2 (β))/sin^2 (γ) - 2c^2*sin(α)sin(β)cos (γ)/sin^2(γ)
c^2 = (c^2(sin^2 (α)+sin^2 (β)) - 2c^2*sin(α)*sin(β)*cos (γ))/sin^2(γ)
c^2 = c^2(sin^2 (α)+sin^2 (β) - 2*sin(α)*sin(β)*cos (γ))/sin^2(γ) | * sin^2 (γ)/c^2
sin^2(γ) = sin^2 (α)+sin^2 (β) - 2*sin(α)*sin(β)*cos (γ)
Итак, sin^2(γ) = sin^2 (α)+sin^2 (β) - 2*sin(α)*sin(β)*cos (γ)
Что и требовалось доказать.
Задача решена.
