Задача: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, а его диагонали пересекаются в точке E. Известно, что CD = ED, AD = 5, BC = 6. Найдите радиус окружности.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть ∠ECD = α, тогда по св-у равнобедренного треугольника ∠CED = α ⇒ ∠EDC = 180° - 2α.
По теореме синусов для хорд R = AD/2sin α и R = BC/2sin(180° - 2α). Уравняем правые части.
AD/2sin α = BC/2sin(180° - 2α)
5/2sin α = 6/2sin(2α)
2sin(2α)/2sin α = 6/5
2sinα * cosα/sinα = 6/5
2cosα = 6/5
cos α = 0,6
По основному тригонометрическому тождеству sin α = √(1 - cos α); sin α = 0,8.
R = 5/1,6 = 3,125.
Ответ: 3,125.
Задача решена.
