Дюрация - средневзвешенный срок потока платежей по облигации. Характеризует чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок.
Расчет дюрации
В 1938 г. Фредерик Макколей разработал свой метод, как учитывать купоны при оценке процентного риска. Он предложил сравнивать облигации не по сроку до погашения, а по средневзвешенному сроку до получения купонов и номинала.
Формула Макколея:
Где:
- i - номер периода
- Где PVi - это текущая стоимость будущих доходов по облигации
- Срок i - срок периода (по умолчанию в годах)
- Цена - цена покупки + НКД
Давайте попробуем рассчитать дюрацию для двух видов облигаций:
- Номинал = 1000
- купонная доходность = 10% с выплатой раз в год
- у первой срок погашения = 3 года, у 2-ой = 5 лет.
Определим стоимость этих облигаций (фактически это справедливая цена покупки без учета НКД), используя формулы из статьи про расчеты, исходя из эффективной ставки 13%.
Стоимость 3-х летней = 100 / (1+13%)^1 +100 / (1+13%)^2 +1100 / (1+13%)^3 = 929,1654
Стоимость 5-ти летней = 100 / (1+13%)^1 +100 / (1+13%)^2 +100 / (1+13%)^3 + 100 / (1+13%)^4 + 1100 / (1+13%)^5 = 894,4831.
Теперь полученные цены подставим в формулу Макколея (будем считать, что НКД = 0):
Дюрация 3-х летней облигации = (100 / (1+13%)^1 * 1 +100 / (1+13%)^2 * 2 +1100 / (1+13%)^3 * 3) / 929,1654 = 2,725231
Дюрация для 5-ти летней облигации = (100 / (1+13%)^1 * 1 +100 / (1+13%)^2 * 2+100 / (1+13%)^3 * 3+100 / (1+13%)^4 * 4 +1100 / (1+13%)^5 * 5) / 894,4831 = 4,118074
Из приведенных расчетов видно, что при прочих равных, чем больше срок до погашения, тем выше дюрация.
Аналогично можно проверить следующие утверждения:
- При прочих равных, чем выше величина купона и чем чаще он выплачивается, тем ниже дюрация
- При прочих равных, чем выше доходность к погашению, тем ниже дюрация
- Дюрация Макколея бескупонной облигации равна сроку до погашения
- У облигаций с амортизацией дюрация значительно ниже, чем у аналогичных облигаций без амортизации.
Значение дюрации позволяет понять чувствительность цены к процентным ставкам
- ΔР - насколько изменится цена облигации в %, при изменении ставки
- МД - модифицированная дюрация (см. ниже). Коэффициент, получаемый из дюрации Макколея
- Δy - изменение ставки
Модифицированная дюрацию:
- YTM - ожидаемая норма доходности
- n - число купонных платежей в год
Давайте попробуем понять, как изменится цена нашей 3-х летней облигации, если ставку повысят с 13 до 15 %.
- Рассчитаем МД = 2,725231 / (1 + 0,13) = 2,411709
- Считаем Δy = (0,15-0,13) = 0,02
- Итог: ΔР = - 2,411709 * 0,02 = -0,04823, а в процентах -4,82%.
Т.е. для нашей облигации изменение ставки с 13% до 15% понизит ее стоимость на 4,82%. Т.е. она будет стоит примерно 929,1654 * (1- 0,04823) = 884,3518 рубля
Выпуклость
Выпуклость облигации характеризует разность между фактической ценой облигации и ценой, прогнозируемой на основе модифицированной дюрации. Поэтому изменение цены нужно рассчитывать по следующей формуле:
Где Convexity и есть показатель выпуклости. Этот показатель можно рассчитать самостоятельно либо посмотреть на специализированных сайтах.
Выпуклость облигаций может быть позитивной и негативной. При положительной (позитивной) выпуклости наблюдается рост цены облигации, что является позитивным моментом для инвестора. При отрицательной (негативной) выпуклости форма кривой доходности облигации вогнута. Цена долгового инструмента, соответственно, снижается.