Судя по комментариям к различным статьям этого и других математических каналов, пора поговорить на одну из животрепещущих тем популярной математики: о бесконечности.
Можно бы, как полагается в сухой математической статье, ограничиться строгими определениями, следствиями и замечаниями, но тогда математиков, окончательно заклеймят формалистами, занудами и перестанут читать. И всё это из-за меня! Поэтому я позволю себе отойти от формализма, рискуя при этом вызвать нарекания от математиков в небрежности.
Чаще всего, эта самая "бесконечность" вылезает в непрофессиональных дискуссиях о делении на ноль. Дескать математики нам запрещают на ноль делить, а мы, свободные от предрассудков люди, будем! И при делении на ноль у нас просто получится бесконечность. Тангенс 90°, кстати, тоже вполне определённо равен бесконечности, и только сумма всех натуральных чисел равна –1/12, но это не из-за этого, а по-другому — мы ведь люди любопытные, читающие блоги и смотрящие каналы. Оттуда же, из блогов и каналов мы знаем, что Георг Кантор и Джон Конвей эту самую бесконечность изучали и придумали ординалы, кардиналы и прочие гипервещественные и трансфинитные числа, так что бесконечность для нас не предел!
Однако математики почему-то продолжают упорствовать: на ноль в быту делить отказываются, причем даже в работах, посвящённым этой самой бесконечности. Что это, косность, клерикализм или принципы? — Это принципы, причём достаточно простые: определения не должны противоречить друг другу.
Бесконечность и алгебра
Давая определения, следует различать актуальную бесконечность, как некий объект или число, и бесконечность, как свойство или качество (такие, как чётность, твёрдость или, скажем, неопределённость).
Если мы вводим понятие бесконечности, как особенного значения или числа (натурального или вещественного), то какими свойствами оно должно обладать? В первую очередь, оно должно быть больше любого числа. Причем, если мы прибавим к нему единицу, или, например, умножим на 2, то результат по нашему определению не должен превышать бесконечности. Следовательно, это число будет поглощающим (идемпотентным):
для любого числа a. При вычитании из него чего-либо конечного, или при делении на конечное число, мы вновь должны получить ∞, как следует из базовых арифметических свойств операций сложения и деления. В общем, странноватый объект, однако ничего криминального в нём, кажется, нет. Ноль, вон, тоже поглощает числа при умножении, и ничего. Так, стоп! Ведь именно из-за этого на ноль математики отказываются делить. И ноль и бесконечность при умножении теряют информацию о числе, как статичная тень на стене теряет информацию о цвете, объёме или форме объекта, эту тень отбрасывающего. И вернуть эту информацию обратным действием — делением, нельзя. Так что на ∞ делить нельзя в той же мере, и по той же причине, что и на 0. Однако и корректно вычесть ∞ должно быть невозможно из-за безвозвратной потери информации.
У вырожденного уравнения 2⋅x = 3⋅x, при введении бесконечности, появляется не только ещё один корень (∞), но и аддитивный аналог 2 + х = 3 + х, имеющий бесконечный корень. Это делает решение уравнений достаточно мутным занятием.
Даже формально ввести величину –∞, как значение выражения 0 – ∞, противоположное ∞, не выйдет, поскольку легко показать, что выражение ∞ – ∞ может быть равно чему угодно, а не только нулю. Получается, что также как 0 не может быть элементом мультипликативной группы, и бесконечность не может быть полноценным элементом ни в аддитивной, ни в мультипликативной группе.
И даже если мы формально положим, что 0⋅∞ = 1, то есть, что 0⁻¹ = ∞ и ∞⁻¹ = 0, где ∞ это некий символ наподобие мнимой единицы i, то используя этот символ, мы немедленно получим, что 1 равно произвольному числу, потому что для любого числа a:
Последний символ обозначает неопределённость, то есть, произвольное значение. Чтобы избежать этого противоречия, нужно либо, опять же, запретить не только деление, но и вычитание для числа ∞, либо пожертвовать дистрибутивностью умножения. Первое не годится, потому что мы хотели избежать запретов, а второе нарушает одно из базовых свойств числовых систем.
Теория делимости для целочисленной бесконечности тоже не будет работать из-за того, что это число неархимедово: его невозможно достичь многократным прибавлением к нулю какого-либо конечного числа. Можно формально счесть его кратным любому числу, но тогда легко доказать, что оно будет простым, потому что прибавив единицу к числу, кратному всём числам из некоторого множества, мы должны получить число взаимно простое со всеми числами из этого множества.
Получается, что разрешив себе назло математикам делить на ноль, и получая при этом наивную актуальную бесконечность, мы получаем только новые неопределённости и парадоксы. Взамен мы не получаем ровным счётом ничего нового, что расширило бы наши возможности. Впрочем... А как же матанализ?
Бесконечность и матанализ
Так может быть бесконечность это некий принципиально недостижимый предельный объект? Например, последовательность чисел 1,1/2, 1/4, 1/8,... 1/2ⁿ в пределе имеет 0, но его не содержит. А рациональная последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи сходится к иррациональному золотому сечению, которое "не существует" во множестве рациональных чисел. Эти пределы недостижимы, но имеют смысл именно при условии бесконечности, то есть, незавершаемости последовательностей. Сами же эти пределы существуют при достаточно точно определённых условиях сходимости рядов. И вот тут-то мы и приходим к простому рассуждению:
Если ряд сходится и имеет предел, то этот предел конечен, если ряд расходится и предела не имеет, то его нет и говорить не о чем.
Нет большого смысла считать бесконечность пределом расходящейся последовательности, ибо она тем и отличается от сходящейся, что предела не имеет. Рассматривая же бесконечность, не как величину, а как качество, мы этих противоречий избегаем, и приобретаем инструмент, необходимый для теории пределов и математического анализа, для построения иррациональных чисел, десятичных дробей и p-адических чисел, для определения непрерывности в топологии, для бесконечных групп и полей, а также бесконечномерных гильбертовых пространств и корректного определения самоподобных фрактальных объектов с дробной размерностью. Во всех этих примерах бесконечность — это свойство какого-либо процесса никогда не завершаться.
Однако, говоря о бесконечном процессе, который всегда можно продолжить, не стоит в, то же самое время вводить бесконечную величину, ограничивающую этот процесс каким-либо образом. Как только некий счётчик этого процесса "достигнет бесконечности", то процесс должен будет завершиться в силу упомянутой выше идемпотентности бесконечности как числа. Мы вольны, если нам это нужно, вводить либо то, либо другое, но оперировать обеими этими абстракциями в одной теории нельзя, не придя к противоречию.
Бесконечность и теория множеств
А о каких бесконечностях рассуждали Кантор с Конвеем, сравнивая мощности бесконечных множеств? Разве кардиналы и ординалы это не количества, то есть, числа? Это действительно, количества, вернее, меры мощности множеств.
Мера это функция, получающая на вход множество, и возвращающая число, так что мощность бесконечного множества, будучи мерой должна быть числом. Как же быть с бесконечными множествами, если мы не признаём бесконечных чисел?
Именно эту задачу начал решать Георг Кантор, введя трансфинитные числа, как меры мощности, позволяющие их единообразно вычислять и сравнивать между собой. В отличии формальной наивной бесконечности, о которой мы говорили чуть выше, кардинальные числа, действительно образуют числовую систему. Она включает в себя и целые числа, и имеет свою арифметику, вполне согласованную с целочисленной. Однако, и в трансфинитных числах нет бесконечности как таковой, а вместо неё есть бесконечная последовательность мощностей бесконечных множеств. И, конечно же, ни одно трансфинитное число не может претендовать на то, чтобы быть результатом деления на ноль, по описанным выше причинам (делить на ноль нет смысла, а введение формального результата приводит к противоречиям).
Ну, а если очень надо, как же, всë-таки, поделить на ноль?
Ближе всего к бесконечности, как к актуальному объекту, мы подходим в геометрии или в топологии, когда рассматриваем идеальные точки, к которым сходятся параллельные прямые на бесконечности или когда видим как эллипс превращается в параболу под действием проективного преобразования.
Вещественная числовая прямая топологически эквивалентна (гомеоморфна) окружности с выколотой точкой. В свою очередь, комплексную плоскость можно непрерывно отобразить на сферу, но тоже с выколотой точкой. Эти особые исключаемые точки можно отождествить с актуальной бесконечностью. Если особую точку в этих многообразиях не выкалывать, то многообразия становятся компактными: кольцом или сферой. Числовые поля ℝ и ℂ компактными (замкнутыми и ограниченными) не являются, так что "закольцованные" числовые пространства это особые построения 𝕊¹ = ℝ∪{∞} и 𝕊² = ℂ∪{∞}. В контексте этой заметки и буду называть обе эти структуры сферами Римана: вещественной и комплексной.
И вот эти особые точки уже можно считать образами деления на ноль. Именно к ним стремятся образы значений функций 1/x, tg(x) и т.п. на сфере Римана, при стремлении аргумента к нулю. Но нужно помнить, что особая точка ни вещественным, ни комплексным числом не является, и попытка использования её в наивной арифметике тут же приводит ко всем вышеупомянутым парадоксам.
Зачем же такое построение может быть нужно? В частности, оно позволяет рассматривать рациональные функции, как отображения сферы Римана на саму себя. При этом становится возможным разложение гладких (голоморфных и мероморфных) функций в окрестности полюса (точки в которой она стремится к ∞) в степенные ряды (ряды Лорана) и, самое главное, появляется мощная техника интегрирования функций (интеграл Коши), но только при условии сходимости интеграла. Как мы говорили выше, если ряд или интеграл расходится, то он не принимает бесконечного значения, а не принимает никакого значения вообще. Более того в анализе функций в окрестности полюсов нас не интересует сама бесконечность в полюсе: интерес представляет доминирующая степень разложения функции в ряд Лорана при приближении к полюсу.
Нестандартный анализ
Но человек не был бы человеком, если бы он не пытался выйти за означенные им же самим пределы. Описана формальная структура колесо, в которой элемент, обратный нулю вводится, как один из основных элементов. Ради этого пришлось пожертвовать дистрибутивнстью умножения, смириться с делителями нуля и невозможностью однозначных решения даже линейных уравнений. Пока я не встретил ни одного осмысленного применения, этой структуры.
Наконец, долгое время разрабатывается так называемый нестандартный анализ, как расширение анализа Ньютона-Лейбница актуальными бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Однако и там на ноль делить нет смысла, что особо оговаривается при определениях соответствующих величин. С одним из представлений таких чисел мы уже сталкивались здесь и здесь, говоря о дуальных числах в цикле "Изобретаем числа".
Я понимаю почему бесконечность кажется заманчивым ответом на вопрос: что получается при делении на ноль. Во многих легендах и архетипичных сюжетах о переходе "на ту сторону мира", герой для постижения всех тайн мироздания должен совершить нечто немыслимое, и выйти за пределы, достижимые "обычным", "традиционным" способом. Принятие в себе идеи бесконечности, а тем более, того, что может быть за ней, делает нас героями. В этом смысле можно понять тех, кому становится не уютно от запретов без объяснений. Главное, увлёкшись жаждой получить ответ, не забывать эти ответы слушать, тогда полученное знание становится позитивным и начинает работать.
Чего ещё почитать:
Хаим Шапира. Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение. 2021.
Вениаминов С.С. Введение в математику бесконечностей: От зарождения идеи до парадоксов. 2023.
Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ. 2006.
