Текстовые задачи и эффективный счёт – это два краеугольных камня школьной арифметики. Если ученик в начальной школе не вполне научится решать задачи и считать, дальнейшее обучение будет практически бесполезным.
Про счёт мы уже немного поговорили, поэтому теперь давайте обсудим текстовые задачи.
Не секрет, что неумение школьников решать текстовые задачи в средней школе — одна из острейших проблем на данный момент.
Вот, например, отрывок из интервью [1] известного школьного геометра А.Блинкова:
«…Половина детей не могут дочитать условие задачи до конца. Дети разучились читать сложносочиненные и сложноподчиненные предложения. Они же теперь пишут телеграфным стилем в соцсетях и в смс. А это очень простые тексты. Когда на олимпиадах я иногда отвечал на вопрос ребенка, то в девяти случаях из десяти мне приходилось говорить: прочитай условие задачи. А уж с чем сегодня сталкиваются учителя русского языка и литературы, и представить страшно! Для них это вообще катастрофа. Но и для математиков – тоже. Ведь чтобы решить задачу, ты должен уметь понимать текст ее условия. А он не умеет!»
И обратите внимание, что автор говорит не про среднестатистических школьников, а про сильных учеников. Про тех, кто занимается на кружках и ходит на олимпиады. С обычными школьниками дела обстоят ещё хуже.
Большинство учеников не просто не вчитываются в условие. Школьники порой просто избегают читать условие задачи и просто выдёргивают числа из текста, пытаясь потом из них что-то сконструировать. Можно даже перечислить «правила», по которым такие ученики решают задачи: если числа разные, то попробовать их сложить, eсли близкого порядка – то вычесть; ecли одно из чисел сильно меньше другого пробуем разделить, не получается разделить – значит надо умножить; eсли это задача на какую-то формулу, то нужно просто все числа из текста подставить в неё и посмотреть, что из этого выйдет.
Порой доходит до смешного.
Например, такая задача из учебника Никольского: «Длина автобусного маршрута 24 км. Определите длину оставшейся части маршрута, если расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет: а) 1/24 маршрута, б) 5/24 маршрута, в) 3/8 маршрута.»
Ученик обводит кружочком пункт а) и потом упорно доказывает, что это правильное решение…
Есть две основные причины такого бедственного положения дел со школьными задачами.
Во-первых, школьники в целом стали значительно хуже читать. То есть, конечно, слова из букв складывать ещё умеют. Пока массовой безграмотности у нас нет, читать-писать в школе как-то учат. Но вот с пониманием прочитанного уже есть серьёзные проблемы.
Можно иногда услышать возражения, что сейчас ученики читают и пишут, возможно, даже больше, чем раньше. Но, к сожалению, в основном это примитивные отрывочные тексты в различных мессенджерах.
Некоторые работодатели жалуются, что вчерашние школьники и студенты, заступая на работу, не могут прочесть абзац связного текста. Хотя если разбить его на отдельные емкие предложения, то они смогут понять его содержание.
Сюда же можно отнести и обилие визуальной мусорной информации, которая приучает школьников к поверхностному восприятию.
И это касается не только чтения. Кому-то может показаться, что если ребенок больше смотрел видео, то он более эффективно сможет учиться по видео. Но это не так. Читающие школьники за счёт умения концентрироваться намного эффективнее работают и с видео. Именно работают, а не пассивно его потребляют в фоновом режиме.
Однако, это всё вотчина словесников. Они гораздо больше могут рассказать про чтение у современных школьников.
Задача же учителей математики в начальной и средней школе более специфичная: научить учеников работать с особого рода текстами – математическими задачами.
Посмотрим на пример [2] такой работы от учителя:
Второй класс. Задача: «Дима разложил карандаши в 2 коробки по 10 штук в каждую. Сколько коробок ему потребуется, чтобы разложить все эти карандаши, но уже по 5 штук в каждую?»
Первое действие ребёнок выполнил так: 10 : 2 = 5. Когда я проверяла, то подумала, что он среагировал на слово «разложил», то есть разделил. Во время индивидуальной работы я попросила его читать задачу по частям и выполнять то, что в ней происходит. Я не предполагала, что он не сможет выполнить описанные действия. Мне казалось, что сейчас будет так красиво: он возьмёт две коробочки и положит туда по десять штук. Он взял десять карандашей и разложил их в две коробки. Я попросила ребёнка прочитать первое предложение ещё раз и спросила, что значит «по 10 штук в каждую»? Он сказал: «Всего у Димы было десять карандашей». Я даже не могла подумать, что ученик не понимает значения фразы «ПО десять штук в каждой». После этого я провела работу над формированием данного понятия.
Действительно школьники должны абсолютно правильно понимать всё, что происходит в задаче. Очень важно именно на ранних этапах сформировать все околоматематические понятия, иначе дальше им будет очень трудно.
Другая сторона проблемы в том, что даже если школьники способны разобраться в математической составляющей задачи, они часто не понимают всей её фабулы.
Например, отрывок задачи из учебника 6 класса Виленкина: «Токарь, выточив на станке 145 деталей, перевыполнил план на 16 %...». Про количество деталей и проценты пока не говорим.
Бывает, что единственно понятное слово в подобной задаче – это слово «деталь». Причём в воображении ученика рисуется в лучшем случае пластмассовая деталь лего-подобного конструктора. А с остальным… Школьники понимают, что такое план? Они сами что-то планируют сейчас? А что значит перевыполнить? Видели ли они реальный станок по изготовлению чего-либо? Что значит «выточить»? Точили ли они что-либо сами, хотя бы ножи? И кто такой токарь?
Один ученик мне как-то сказал, что токарь это «тот, кто чинит розетки». В его картине мира токарь – это тот, кто работает с током.
Другой источник проблем с текстовыми задачами носит непосредственно методический характер.
1. Излишняя схематизация решения задач.
Отрывок [3] из экспертизы учебников в начальной школе от академика В.А.Васильева:
«Но в данных курсах [имеются в виду учебники системы Эльконина-Давыдова – прим. ПМ] грандиозная и изощренная теория этих самых «схем» становится важнейшим разделом, и эти схемы превращаются в самостоятельный объект изучения, подминающий под себя все остальное. Имеется безумное количество задач, в которых требуется непременное построение этих схем, их сравнение, изучение деталей их рисуночков; при этом неизбежно запоминание всех этих тонкостей и засорение ими детских голов. Несомненно, на выходе именно эти схемы остаются главным воспоминанием и главной частью представления о математике как о какой-то формалистической ерунде. Кроме того, каждый человек по-своему визуализирует абстрактные математические понятия, и не надо навязывать ему свой способ. Рисование этих (или других подобных) схемок при решении примитивных задач можно прощать слабым ученикам, если они не могут без этого, но надо всячески приветствовать решение задач без них, и уж конечно не делать такое рисование непременной частью решения или даже основным содержанием задачи. Несомненно, авторы из добрых побуждений делятся с учениками тем, как они сами мучительно пытались представить себе решение задач, и подсовывают им свои старые ходунки и ходульки, с помощью которых они сами пытались и пытаются передвигаться в мире математики. Но нельзя заставлять бесконечно пресмыкаться в ходунках здорового ребенка, который, возможно, уже из них вырос: нужно только радоваться, когда он побежит самостоятельно и забудет эти «схемы» как кошмарный сон.»
Хотя эксперт ругает вполне конкретную линию учебников, всё же эта проблема повсеместна.
Школьников на ранних этапах сразу заставляют рисовать какие-то схемы, чертежи, таблицы для заполнения при решении даже элементарных задач.
Но нужно помнить, что все эти конструкции лишь вспомогательные средства; их надо вводить тогда, когда без них условие задачи может быть не ясно, неправильно понято. Не стоит на это тратить время, когда фабула задачи ясна и без рисунка. Краткие записи и схемы должны появляться тогда, когда сложность условий задач достигает того уровня, что их трудно удержать в голове. Тогда у школьников сама собой возникает потребность как-то записать условие, чтобы ничего не упустить.
Если делать упор именно на схемы, а не содержание задач, в старших классах можно получить такую картину. Ученики перед тем, как прочесть условие и понять его суть, сначала рисуют таблицу (зачем?), а потом по тексту пытаются заполнить её. И очень расстраиваются, когда не удаётся это сделать.
2. Излишняя алгебраизация.
Другая проблема возникает, когда составители учебников пытаются как можно раньше ввести буквенные обозначения. Мол, зачем учить решать задачи по действиям (арифметический способ), если всё можно решить через уравнения. Давайте сразу учить их составлять.
Но здесь снова форма вытесняет содержание.
Когда ученик привыкает к уравнениям в ущерб решению по действиям, он вместо вдумчивого чтения условия начинает поверхностно рыскать по нему в поисках икса. Такой ученик сначала пишет «Пусть икс – это …», а потом обращает внимание на задачу.
Но даже те, кого с начальной школы учили работать с буквами, всё равно потом могут испытывают трудности в алгебре. Дело в том, что у этих букв для них нет содержательного наполнения. Ведь пресловутые иксы должны вводиться тогда, когда неизвестные уже в разных формах использовались и, наконец, возникла необходимость в формализации.
Яркий пример – задачи на части. Академик А.Я. Хинчин ругал текстовые задачи в своей знаменитой статье [3] «О так называемых задачах на соображение в курсе арифметики», не понимая всей их методической важности. Сначала ученики учатся на некоторых частных случаях и оперируют с долями и частями, а уже потом должны появляться общие буквенные обозначения неизвестных. А в некоторых случаях и не должны появляться.
Подробнее на эту тему можно прочитать в статье [4] А.Шевкина «Запоздалый спор с А.Я. Хинчиным о текстовых задачах».
3. Оторванность задач от реальности
Задача из учебника Петерсон для 3 класса: «Бримазище нашел 96 шклидулок, а бримазёнок − на 64 шклидулки меньше. Сколько шклидулок нашли они вместе? Во сколько раз больше шклидулок нашел бримазище, чем бримазенок?»
Задумка автора понятна: максимально абстрагироваться от реальности и показать школьникам как работать с формальными объектами.
Однако, такой подход в раннем возрасте, наоборот, скорее вредит школьникам. Им нужно сначала научиться чётко представлять и понимать, что происходит в задаче. Ведь текстовые задачи – эти ещё один инструмент изучения объективной реальности.
Можно сколько угодно сейчас смеяться над колхозами и пионерами в текстовых задачах из советских учебников. Но ключевое в этих задачах было то, что они играли важную роль в приобщении школьников к производственному труду, к преобразованию материального мира вокруг. Отсюда все эти задачи про посевные и элеваторы (сейчас много школьников знают, что это такое?), про производство электричества, выплавку чугуна и стали (много школьников понимают их отличие?), про зольность угля, про высоты реальных гор и вулканов и т.д.. Порой доходит до абсурдного: школьники-олимпиадники не знают, что такое промилле…
А без подобного адекватного отображения реальности школьники так и останутся митрофанушками, которые надеются, что их «довезёт кучер», которые думают, что электричество вырабатывается сразу в розетках. Тех самых розетках, которые чинят токари.
Что почитать:
1. Алтушкина Т. А. Усвоение условия задачи. [5]
Отличная вводная статья, которая указывает на ключевые моменты работы с текстовыми задачами.
2. Алтушкина Т. А. О типовых и нестандартных задачах [6]
Необычный взгляд того же автора на нестандартные задачи в школьном курсе арифметики.
3. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики. 5-11 классы [7]
Автор – известный составитель учебников (УМК Никольского и др.), а также наиболее последовательный защитник арифметического метода решиния текстовых задач.
4. Поляк Г.Б. Обучение решению задач в начальной школе [8]
5. (Бонус). Готовится к печати брошюра И.В.Раскина «Текстовые задачи» из серии «Школьные математические кружки». Показательно, что уже и олимпиадная тусовка признаёт проблему с текстовыми задачами.
Кстати, в этот четверг 21 апреля в столовой МЦНМО будет семинар автора на эту тему [9].
Из пояснения к семинару: «Почему школьники с трудом решают текстовые задачи? Потому что не могут перевести текст на удобный для решения язык. Мы обсудим такой перевод не как искусство, а как набор технологий, которым можно эффективно обучать на уроках и на массовом кружке. Отдельно рассмотрим задачи на проценты. Их сложность имеет больше языковых причин, чем математических. А доступность существенно повышается, если вовремя обучить важным, но стандартным и поэтому несложным навыкам перевода»
В общем, с нетерпением ждём выхода книги.
На этом пока прервёмся. Данная статья скорее вводная. Далее я хотел бы поделиться некоторыми важными методическими разработками, которые помогут не только преподавателям, но и родителям.
-------------------------—
[1] Интервью. Александр Блинков: "Учиться математике в обычной школе становится все сложнее" https://profile.ru/society/aleksandr-blinkov-uchitsya..
[2] Е. В. Барышева. Научиться видеть задачу глазами ребёнка.
https://russianclassicalschool.ru/methods/nachalnaya-..
[3] А. Я. Хинчин. О так называемых “задачах на соображение” в курсе арифметики, Матем. просв., 1961, выпуск 6, 29–36 http://www.mathnet.ru/links/31064d48419b9d4dd8840ef0d..
[4] Запоздалый спор с А.Я. Хинчиным о текстовых задачах http://www.shevkin.ru/novosti/zapozdaly-j-spor-s-a-ya..
[5] https://russianclassicalschool.ru/methods/nachalnaya-..
[6] https://russianclassicalschool.ru/methods/nachalnaya-..
[7] https://www.ozon.ru/product/tekstovye-zadachi-v-shkol..
[8] https://sovietime.ru/matematika/obuchenie-resheniyu-z..
[9] https://vk.com/mccme?w=wall-65937233_3588
