Если хаос это отсутствие порядка, то перед тем, как постигать хаос, стоит разобраться с тем, как устроен порядок.
Продолжаем наш неспешный разговор об элементах теории хаоса. Только об элементах, поскольку тема эта очень большая, а наш рабочий пример позволяет раскрыть лишь часть разнообразных аспектов хаотической динамики.
Пример наш очень прост: подпрыгивания шарика над столиком на пружинке в поле силы тяжести. Движение самих тел достаточно тривиально, а вот их упругие соударения оказались способны производить сложную красивую динамику, как упорядоченную, так и хаотичную. Состояния системы в моменты соударений, образуют в фазовом пространстве множество точек, лежащих на сферической поверхности, которую, в свою очередь, задаёт закон сохранения энергии. Так от уравнений движения мы перешли к дискретному двумерному отображению
которое действует на упомянутой сферической поверхности, порождая последовательности соударений (орбиты отображения), и однозначно определяется полной энергией системы E. Семейства орбит могут выглядеть неожиданно красиво. На рисунке показан пример такого семейства для E = 1, изображенный в азимутальной проекции.
Физическая симметрия задачи нашла отражение в симметрии фазового пространства и системы орбит. На азимутальной проекции выделяется зеркальная симметрия, с осью проходящей через начало координат и включающая в себя меридианы φ = 0 и φ = π (зелёная линия на рисунке). Напомню, что таким образом проявляется симметрия обмена скоростями при упругом соударении одинаковых по массе тел.
Сегодня мы детально рассмотрим все возможные типы регулярных (не хаотических) орбит отображения П, их физический смысл и общую структуру. Эта часть рассказа необходима для того, чтобы познакомить нас с главными персонажами в гамильтоновом сценарии перехода к хаосу: полюсами и седловыми точками, эллиптическими и гиперболическими циклами, а также с инвариантными торами.
Неподвижные точки
В прошлый раз мы отметили, что отображение П является гомеоморфизмом — непрерывным отображением сферической поверхности в себя.
Существует топологический факт, известный как теорема Брауэра: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку. Из этой теоремы следует, что обязана существовать как минимум одна точка, которую отображение П возвращает в саму себя, то есть, неподвижная точка отображения Пуанкаре.
По крайней мере, одну такую точку мы знаем: это точка со сферическими координатами θ = 0, φ = 0. Ей соответствует состояние покоя системы в равновесии.
Давайте поищем другие неподвижные точки преобразования П. Для этого вспомним последний наш эксперимент с отображением Пуанкаре, в котором мы наблюдали формирование орбит из начального ряда точек, расположенных на нулевом меридиане:
На эту картинку стоит посмотреть внимательно и несколько раз. Сразу бросается в глаза крупный "вихрь" в центральной части диска, который постепенно окружают кольцевые орбиты. Центр "вихря" при этом не двигается, так что это явный кандидат на неподвижную точку.
В силу симметричности системы орбит преобразования П, его неподвижные точки могут либо лежать на нулевом меридиане, либо располагаться зеркально относительно неё. Однако во втором случае обмен скоростями при ударе должен перевести любую такую точку в её зеркальное отражение, а значит, ни одна из них не останется неподвижной. Если мы ищем точки, переходящие сами в себя при зеркальном отражении относительно нулевого меридиана, то значит, все они должны лежать на нём.
Для того, чтобы найти все такие точки, вычислим расстояние между исходными точками нулевого меридиана и их образами:
Видим, что нулю это расстояние равно только в точках равновесия p⁰, и в точке p¹, том самом центре "вихря", и других неподвижных точек в системе нет.
Точке p¹ соответствуют абсолютно правильные периодические подпрыгивания шарика, в которых в точности повторяются и координата соударения и скорости тел, равные друг другу по модулю в момент удара.
Полюс и его окрестности
Точка p¹ окружена сплошными кольцеобразными орбитами. Давайте рассмотрим её окрестности подробнее:
Происходящее очень похоже на фазовый портрет для колеблющегося столика (см. вторую статью серии). Это значит, что если немного "промазать" мимо точки p¹ то мы должны наблюдать своего рода колебания вокруг неё. Рассматривать физические траектории тел тут смысла мало, наш глаз не заметит разницы. Вместо этого, мы прибегнем к математическому анализу.
В прошлый раз мы подметили гладкость отображения П, это значит, что его можно воспринимать, как гладкую вектор-функцию и, следовательно, раскладывать в степенные ряды. Давайте рассмотрим линейное приближение отображения вокруг неподвижной точки p¹. Для обыкновенной функции f еë линейное поведение около неподвижной точки x₀ выглядело бы как прибавление к неподвижной точке величины ∆y = f'(x₀) ∆x:
Для нашего отображения, как для функции над векторами, линейное поведение около неподвижной точки будет выражено очень похожим образом, но вместо прибавления числовой величины, мы будем немного смещаться от исходной точки на малый вектор ∆x, а образ смещения будет выражаться новым вектором ∆y:
Смещение образа можно выразить, как результат действия на ∆x некоторой матрицы J(p¹). Она называется матрицей Якоби или якобианом отображения и представляет его линейное приближение в некоторой точке, подобно тому, как производная f' является линейным приближением функции f. Собственно, якобиан и вычисляется через частные производные от компонентов вектор-функции, но, увы, нам неведомо явное выражение для П, мы знаем только алгоритм его вычисления. Однако, гладкость этого отображения позволяет нам вычислять производные численными методами.
Чтобы понять, что происходит с фазовым пространством вокруг точки p¹, посмотрим как действует отображение П на два небольших ортогональных вектора, исходящих из неё.
Как видим, отображение поворачивает векторы по часовой стрелке на четверть оборота и ещё чуть-чуть доворачиает. Численное вычисление производных П в неподвижной точке показывает, что на малые векторы действует такая матрица Якоби:
Важную информацию о преобразовании несут определитель и спектр якобиана, то есть собственные числа (о них мы уже упоминали, классифицируя нестандартные арифметики).
Определитель якобиана показывает, как под действием преобразования меняется площадь фигур. Для полученной нами матрицы он равен единице. Это значит, что преобразование сохраняет объём фазового подпространства, в котором мы работаем. Собственные числа якобиана получились комплексными:
их модуль тоже равен единице. Всё это говорит о том, что в точке p¹ отображение П ведёт себя, как поворот, не изменяющий объёма пространства вокруг неподвижной точки.
Угол поворота, который совершает окрестность полюса под действием отображения, можно вычислить через аргумент собственного числа якобиана, в нашем случае он оказывается равным 91.4° — те самые четверть оборота и ещё чуть-чуть, что мы наблюдали в эксперименте.
Неподвижные точки, вокруг которых происходит вращение пространства, называют полюсами или эллиптическими точками. Собственные числа якобиана в таких точках должны лежать на единичной комплексной окружности, и иметь ненулевую мнимую часть.
Циклы и седловые точки
На портрете отображения видны и другие семейства концентрических эллиптических орбит, которые тоже образуются вокруг некоторых особых точек. Эти точки неподвижны для отображения П, применённого несколько раз.
Яркий пример: четыре крупные кольцевые структуры, расположенные вокруг полюса p¹. Вот как они выглядят вблизи:
Точки, обозначенные на рисунке, как p⁴, под действием отображения П переходят друг в друга по очереди. При этом отображение П⁴(x) = П(П(П(П(x)))) переводит каждую из них в саму себя.
Такие точки образуют периодические орбиты или циклы. Полюсы, составляющие цикл конечной длины n, мы будем называть полюсами n-ного порядка и обозначать pⁿ.
В том, что это именно полюсы можно убедиться, вычислив спектр якобиана от П⁴ для них (они комплексные, лежат на единичной окружности и их аргумент соответствует повороту на –1.37°), либо наблюдая действие этого отображения на малые векторы.
Обратите внимание на направление и фазу, вращения пространства вокруг точек p⁴, а также на то, что П⁴, действуя на окрестности p¹ оставляет только сумму небольших доворотов, так что вращение становится плавным.
Однако несколько полюсов не могут размещаться рядом, не смыкаясь орбитами-спутниками. В какой-то точке эти орбиты должны будут соприкоснуться. Мы говорили, что в автономных системах, типа нашей, фазовые траектории пересекаться не могут, за исключением особых случаев. Это как раз такой случай. Особые точки, в которых разные орбиты пересекаются, тоже будут неподвижными для Пⁿ, они называются седловыми или гиперболическими точками. Мы будем обозначать их sⁿ. Показанные на рисунке точки s⁴ тоже образуют цикл четвёртого порядка, но он существенно отличается от цикла, образованного полюсами, динамикой фазового пространства в окрестности составляющих его точек.
Давайте исследуем их локальное поведение, наблюдая за тем, как отображение Пⁿ действует на два малых ортогональных вектора, исходящих из точки пересечения орбит, вдоль их касательных.
Мы видим, что по действием П векторы не поворачиваются, а меняют свою длину: одна пара вытягивается, а другая сжимается. Выбранные нами направления совпадают с направлением собственных векторов якобиана в гиперболической точке. Действие матрицы на собственный вектор выражается только в умножении его на собственное число, без всякого поворота. Это значит, что собственные числа якобиана гиперболической точки должны быть вещественными. Причём наблюдаемая нами динамика говорит о том, что одно собственное число по модулю должно быть больше единицы (вектор удлинняется), а другое — меньше единицы, соответствующий собственный вектор укорачивается.
Для седловой точки s⁴ якобиан получилcя таким:
с собствеными значениями:
Примечательно, что для нашей системы определитель якобиана в этой точке равен единице, как и в полюсе. То есть, не смотря на существенное искажение окрестностей фазового пространства, гиперболическое поведение не изменяет никакие площади.
Таким образом, мы приходим к важному заключению: циклы могут состоять либо из полюсов, либо из гиперболических точек. В первом случае орбита будет находиться в цикле или в его окрестности неограниченно долго. Такие устойчивые циклы мы назовём эллиптическими. Во втором случае при сколь угодно малом отклонении от седловой точки орбита покинет еë и вернется обратно, только пройдя по некоторой замкнутой линии, удаляясь от от исходной точки очень далеко. И седловые точки и образуемые ими гиперболические циклы являются неустойчивыми.
Инвариантные торы
А из чего состоят многочисленные орбиты, окружающие наши особые точки? Они выглядят, как сплошные замкнутые линии, можно ли воспринимать их как циклы очень высокого порядка?
Для того чтобы понять, что же эти орбиты собой представляют, нам надо вернуться в фазовое пространство. Оно для нашей системы четырëхмерно и имеет координатами положение и скорости шарика и столика (x, y, ẋ, ẏ). Исследуемое нами дискретное отображение П получается сечением непрерывных траекторий гиперплоскостью x = y, в которой лежат точки соударения.
Давайте посмотрим как выглядит фазовая траектория для неподвижной точки p¹ в подходящем сечении четырёхмерного фазового пространства:
Это петля, которая встречает сечение Пуанкаре в неподвижной точке, потом покидает сечение и вновь возвращается к нему. А вот как выглядит фазовая траектория для цикла четвёртого порядка:
Обе траектории представляют собой нормальные замкнутые петли. Теперь построим траектории, соответствующие орбитам-спутникам этих неподвижных точек:
Мы видим, что полученные траектории "наматываются" на поверхности похожие на трубку, а сечение Пуанкаре вырезает на этой поверхности замкнутые кольцеобразные орбиты. Эти трубки особым образом замыкаются и образуют тор, внутри которого располагается петля цикла.
Обычно, говоря о торе, мы воображаем поверхность бублика. Чтобы получить из привычного тора наш вариант, нужно разрезать его и склеить, допустив самопересечение, как показано на рисунке:
С точки зрения топологии такой тор ничем не отличается от привычного. Чтобы получить тор для окрестностей цикла четвёртого порядка, его надо разрезать и переклеить четыре раза.
Полюбуйтесь как выглядит небольшое семейство таких тороидальных трубок:
Торы в норме не пересекаются, так же как и формирующие их фазовые траектории. Исключение составляют те из них, что образуются траекториями, пересекающимися в гиперболических точках:
Топологию такой поверхности можно представить себе в виде тора, склеенного из четырёх параллельных трубок. Ровно в месте "склейки" находится неустойчивая гиперболическая орбита.
В отличие от циклов, траектории, образующие торы, не замкнуты и плотно заполняют тороидальную поверхность, не оставляя на ней ни одной точки, через которую не проходила бы траектория. Это значит, что в качестве решения задачи имеет смысл рассматривать весь тор сразу. Поскольку все его точки принадлежат одной бесконечной траектории, то исходная система уравнений переводит весь такой тор в себя. Таким образом, он является инвариантным многообразием динамической системы, а сечения тора — замкнутые орбиты, будут инвариантными многообразиями отображения Пуанкаре.
Инвариантные торы называют также торами Колмогорова-Арнольда-Мозера, или КАМ-торами.
Теперь мы готовы исчерпывающе описать регулярную структуру фазового пространства задачи. Оно плотно заполнено одномерными замкнутыми петлями, и двумерными инвариантными торами, которые образуют расслоение пространства. Фазовое пространство отображения Пуанкаре, в свою очередь, содержит одномерные полюсы и седловые точки, образующие циклы, и расслаивается одномерными инвариантными многообразиями, которые мы тоже будем называть КАМ-торами.
Кроме перечисленных выше и хаотических, иных орбит в гамильтоновых системах нет. Так что мы рассмотрели все типы инвариантных многообразий и для нашего прыгающего шарика, и для бильярда на кривом столе, и для двойного маятника, и для атмосферы Юпитера и для колец Сатурна, в общем, для всех гамильтоновых механических систем.
В следующий раз мы немного глубже изучим структуру циклов, увидим, как КАМ-торы их порождают, и как они становятся источником хаоса.
Продолжение здесь:
