В прошлой статье мы начали разбираться с простой механической системой, демонстрирующей непростое поведение. Вот она:
Напомню, что мы заинтересовались шариком, который, находясь в поле силы тяжести, падает и вновь подскакивает, упруго сталкиваясь с подпружиненным столиком. Массы шарика и столика равны, так что при ударе они просто обмениваются импульсами. Колебания столика и подскоки шарика, как оказалось, могут быть как регулярными, так и хаотичными, притом, что их динамика чрезвычайно проста и описывается такой системой безразмерных уравнений:
Как видно, эти две системы независимы друг от друга, кроме тех моментов, когда координаты x и y совпадают. В эти моменты, при столкновении шарика и столика, происходит обмен импульсами, то есть скоростями.
Перед тем, как двигаться дальше в сторону постижения природы хаоса, стоит немного подробнее поговорить о терминологии и некоторых базовых инструментах теории динамических систем.
Фазовое пространство и траектории
Решая уравнения движения, мы получаем траектории тел, то есть многообразие их координат в физическом пространстве. Основным параметром при этом является время.
Но для того, чтобы эти уравнения решить, нам нужно задать начальные условия: координаты и скорости всех тел в начале движения.
Кроме физического, можно рассмотреть фазовое пространство, которое не содержит информации о времени, зато полностью отражает состояние системы. Каждая точка этого пространства представляет все необходимые начальные условия, и как правило, задаёт единственную фазовую траекторию системы, которая проходит через эту точку. Фазовой траекторией называется непрерывное многообразие состояний, через которое проходит система в течение времени, выступающего в качестве неявного параметра. Траектория представляет собой некую одномерную линию.
Свободное падение шарика полностью определяется его координатой и скоростью в любой момент времени. Таким образом, координата и скорость задают его фазовое пространство. Решив уравнение движения для шарика, мы получим такие выражения для состояния системы:
Исключив из этих уравнений время, нетрудно получить уравнение фазовой траектории шарика в координатах (x, ẋ):
Справа в этом уравнении стоит энергия системы в начальный момент времени. Фазовые траектории в пространстве (x, x) выглядят, как параболы, образующие семейство, параметризованное энергией шарика в любой момент времени: каждому значению энергии соответствует своя парабола.
Ещё раз замечу, это траектории шарика не во времени и не в физическом пространстве, а в пространстве состояний.
Для колеблющегося столика решения уравнения движения выглядят так
Фазовые траектории столика тоже определяются его энергией и представляют концентрические окружности:
Для автономных детерминированных систем, то есть, полностью определяемых начальными условиями задачи, любая точка траектории однозначно задаёт всю траекторию. Это означает, что различные траектории не должны пересекаться. Позже мы увидим, что бывают так называемые особые точки, в которых пересекаются особые траектории. Эти исключения важны, но нетипичны, почти все точки фазового пространства принадлежат непересекающимся фазовым траекториям.
Как видно, в обеих наших системах по отдельности нет никаких особых точек, всё предельно просто и ясно. Рассматривая их одновременное движение, мы попадаем в четырёхмерное фазовое пространство (x, y, ẋ, ẏ), в котором фазовые траектории определяются суммарной энергией системы и удовлетворяют уравнению:
которое можно упростить:
Сечения Пуанкаре
Наши два тела почти всегда двигаются независимо, но встречаясь, они упруго сталкиваются. В результате фазовые траектории шарика и столика образуют сложнейший клубок в четырёхмерном пространстве.
Анализировать или рассматривать его мало смысла. Вместо этого мы можем сосредоточить своё внимание только на моментах столкновений шарика и столика, то есть, на тех, в которых совпадают их координаты. Геометрически это соответствует сечению одномерной фазовой траектории, вложенной в четырёхмерное пространство, гиперплоскостью x = y. Это породит дискретное множество точек, вложенных в секущее подпространство (x, ẋ, ẏ), которое будет трёхмерным.
В прошлый раз мы назвали этот метод "стробоскопическим", но в теории динамических систем такое построение называется сечением Пуанкаре. Для более вразумительного трёхмерного фазового пространства, схематично его можно показать так им образом:
Таким образом, линию траектории мы заменили дискретным множеством точек, понизив при этом размерность пространства.
Траектория переводит одну точку сечения в другую. Такое дискретное преобразование
порождающее последовательность точек сечения, называется отображением Пуанкаре, а сама эта последовательность — его орбитой.
Понижаем размерность ещё на единицу
При взгляде на орбиту, изображенную на иллюстрации, становится очевидно, что точки не просто располагаются в трёхмерном секущем пространстве, а лежат на некоторой двумерной поверхности.
Поскольку наша система замкнута, её полная энергия сохраняется. Это означает, то E = const. В любой момент соударения шарика и столика, то есть, когда x = y, полную энергию можно выразить таким образом:
Уравнение полной энергии описывает в подпространстве (x, ẋ, ẏ) некоторую сферу. Именно на ней и располагаются точки орбиты отображения Пуанкаре.
Пример, показанный выше, был рассчитан для начального соударения с фазовыми координатами (0, –√2, 0). Этой точке соответствует энергия E = 1. Этому же значению энергии соответствуют и другие начальные условия: другие начальные положения и скорости тел при их соударении.
Перебирая такие точки, мы можем получить сечение Пуанкаре для семейства траекторий, то есть, семейство орбит, имеющих одинаковую энергию.
Как видно, орбиты бывают разными. Одни из них представляют собой односвязные замкнутые линии, другие распадаются на множество несвязных замкнутых линий, наконец, есть хаотичные орбиты, заполняющие поверхность сферы облаком точек. Проще всего наблюдать орбиты именно этих типов, но кроме них есть орбиты состоящие из дискретного набора точек, которые называют циклами. Именно анализ отображения P и его орбит, их переход из одного типа в другой, по мере увеличения энергии системы, и представляет предмет исследования системы методами теории хаоса гамильтоновых систем.
Гамильтоновыми называют замкнутые изолированные автономные системы, в которых нет потерь энергии. Кажется, что в реальном мире такие системы найти или построить трудно, поскольку абсолютно изолированных систем практически не бывает. Тем не менее они встречаются и анализировать их имеет смысл. Вести себя по-гамильтоновски и демонстрировать при этом хаотическое поведение, будет неидеальная механическая система, в которой подавляющая часть энергии сосредоточена в движении и потенциальных полях. Диссипация или приток энергии извне в такие системы если и происходит, то он пренебрежимо мал на масштабах времени, в течение которого происходит отображение Пуанкаре. Даже если после тысяч и миллионов таких отображений будет заметен вклад внешних возмущений и потерь, мы будем наблюдать эффекты гамильтоновой динамики в определённом диапазоне временных масштабов.
В основном, примеры таким систем встречаются в квантовой механике или в теории квантовых полей. Но их можно найти и в механике. Например, в атмосфере газовых гигантов вихри имеют колоссальные размеры, массы и импульсы, так что вязкость пренебрежимо мала по сравнению с их инерцией. В движении планет, а также спутников и колец вокруг них, силы тяжести и инерции также несоизмеримо больше приливных потерь или влияния внешних тел. Именно методы анализа гамильтонова хаоса разработанные Рюэлем, Такенсом, Колмогоровым, Арнольдом и Мозером, позволили разобраться с формированием структуры планетарных систем и колец. Как гамильтоновые системы можно рассматривать осцилляторы со многими степенями свободы, нелинейные бильярды и даже информационные сети.
Эти статьи, не страницы учебника и даже не введение в теорию, основная их цель -- показать симпатичные картинки :) Так что давайте помедитируем на семейства орбит отображения Пуанкаре для различных энергий. Посмотрите, как рождаются новые резонансы, как появляются первые признаки хаоса, как постепенно хаотическое море затапливает фазовое пространство.
Продолжение и развитие темы:
