Сегодня мы поговорим о линейных преобразованиях и посмотрим на то, как геометрически выглядят действия различных типов матриц 2×2 на плоскости.
В этой серии статей мы последовательно изучаем как можно изобретать и строить числовые системы, собирая их из других числовых систем, и попутно разбираемся с тем, какой смысл мы вкладываем в слово "число", и знакомимся с некоторыми инструментами, которыми математики пользуются в своей работе.
Поговорим о линейности
Коль скоро мы начали использовать линейные преобразования и матрицы, пора уделить и им некоторое внимание. Весь курс линейной алгебры я, конечно же, приводить не собираюсь, ограничусь только тем, что понадобится в контексте нашего рассказа о конструктивном подходе к арифметике.
- Оператор или функция F(x) является линейной, если выполняется следующее отношение:
для любых чисел λ, μ и аргументов x, y, для которых определены умножение на число и сложение. Выражение в правой части равенства называется линейной комбинацией.
- Линейная комбинация числовых величин удобно выражается через скалярное произведение векторов, записанных в форме строк и столбцов:
- Линейную комбинацию векторов можно представить как произведение матрицы (набора строк) на вектор-столбец:
- Если меняется система координат, или преобразуется всё пространство, определённое двумя базисными векторами, то это можно представить произведением матриц:
Векторы и матрицы -- это представления (математические модели) элементов линейных пространств и их преобразований. Выше приведены двумерные примеры, но при увеличении числа компонент способы перемножения не изменятся.
Как видите, никакого сакрального смысла в традиционном способе перемножения векторов и матриц нет, это просто удобный и последовательный способ описывать линейные комбинации.
Векторы и матрицы встречаются повсеместно в математике и физике, поскольку примеров линейных пространств в нашем мире много. Сладкий кофе с молоком, кодировка цветов в формате RGB, разложение функции в ряд Тейлора, галилеево сложение скоростей, конфигурация электронных орбиталей в атомах, представление чисел в позиционной системе счисления, спектры звёзд и единицы измерения физических величин... Это всё примеры линейных пространств, и для их описания можно использовать векторы и матрицы.
Впервые с линейным пространством мы встречаемся в школе, при решении систем линейных уравнений и когда знакомимся с геометрическим евклидовым пространством, в котором вектор, представляет направленный прямолинейный отрезок. Матрицы в геометрии представляют линейные преобразования всей плоскости, которые оставляют прямые линии прямыми и пересекающиеся прямые пересекающимися. Всё остальное: углы, расстояния и площади, может при этом измениться.
Любое линейное преобразование двумерного пространства это композиция растяжения, сдвига, скашивания, поворота и отражения относительно какой-либо линии.
За сдвиг отвечает сложение векторов, а умножение матрицы на вектор представляет те преобразования, которые оставляют начало координат на месте.
Спектр матрицы
То как именно действует преобразование, описываемое конкретной матрицей
определяется двумя числами, которые называются её собственными числами. Они вычисляются, как корни уравнения, которое называется характеристическим:
Коэффициент a + d при линейном члене уравнения называется следом матрицы, а свободный член ad − bc — еë определителем. Согласно теореме Виета, след матрицы равен сумме собственных чисел, а её определитель — их произведению. Это полезно помнить, при работе с матрицами в контексте числовых систем.
Набор собственных чисел матрицы называется еë спектром. Зная его, можно сказать каким будет действие преобразования, которое представляет матрица.
- Собственные числа вещественные — композиция растяжений и скашивания. При этом вдоль двух выделенных направлений наклон векторов не изменяется.
- Собственные числа комплексные — композиция растяжений и поворота. При этом все векторы изменяют наклон.
- Собственные числа равны друг другу (кратные) — композиция растяжений и скашивания. При этом есть одно выделенное направление вдоль которого наклоны векторов не изменяются.
- Если какое-либо собственное число равно нулю, то соответствующее преобразование становится вырожденным и необратимым. При этом всё двумерное пространство стягивается в одну линию.
Классификация преобразований
Итак, характер линейного преобразования определяется его спектром. Он, в свою очередь, зависит от характеристического уравнения: от знака дискриминанта и линейного члена. Для матриц второго порядка все возможные случаи можно показать на одной диаграмме, по осям которой отложены след и определитель матрицы.
Я позволил себе дать областям имена, которые не являются общеупотребимыми, применительно именно к матрицам, и которые обычно используются для классификации квадратичных форм, конических сечений, дифференциальных уравнений в частных производных или двумерных динамических систем. Но дело в том, что все упомянутые объекты описываются с помощью матриц, а для классификации используются их собственные числа или приведëнная выше диаграмма. Так что выбор названий абсолютно оправдан.
В область гиперболических преобразований попадают те, которые имеют вещественные собственные числа. Эллиптическими назовëм системы с комплексными собственными числами, а разделяют эти области параболические преобразования с кратными корнями характеристического уравнения. Среди гиперболических преобразований встречаются ещё вырожденные, имеющие одно собственное число, равное нулю.
Для того, чтобы лучше понять характер линейного преобразования в контексте представлений арифметик, можно рассмотреть не однократное его действие на координатную сетку, а многократное действие этого преобразования на точки пространства. Так получаются линии-орбиты, вдоль которых происходит перемещение точек пространства при многократном применении к ним преобразования.
Полюбуйтесь на то как выглядят линейные преобразования различных типов, их орбиты и собственные числа.
Теперь видно откуда берутся термины эллиптический, параболический и гиперболический, применительно к преобразованиям: орбитами соответствующих преобразований, действительно являются эллипсы (или эллиптические спирали), параболы и гиперболы.
Теперь с этих позиций взглянем на арифметики, которые имеют представление в виде линейной композиции единичной матрицы и некоторой матрицы-расширения.
Между матрицами и их характеристическими уравнениями есть красивая связь: матрица представляет решения своего характеристического уравнения.
Вспомните, гауссовы числа мы определили как расширение кольца целых чисел мнимой единицей i, которая решает уравнение x² + 1 = 0. Матричные представления для мнимой единицы могут выглядеть так:
и если мы выпишем для них характеристические уравнения, то оно будет совпадать с решаемым уравнением: x² + 1 = 0.
Конечно, это не единственная пара матричных решений для такого уравнения, но именно эти две матрицы позволяют очевидным образом разделить вещественную и мнимую части и обладают рядом свойств, о которых говорить мы здесь не будем (ортогональность и унитарность).
Таким образом, по матрице можно понять, какое уравнение оно решает. И наоборот, по уравнению, не имеющему решения в заданной числовой системе, можно построить его решение в виде матрицы, для которой это уравнение будет характеристическим.
В следующих статьях мы рассмотрим по отдельности примеры арифметик всех трёх типов и сможем увидеть геометрический смысл умножения в них.