Прежде чем рассказать про самый удивительный в мире словарь, давайте вспомним про самые удивительные в мире числа. Их на свете ровно две штуки! Догадались, что за числа? Нет?
Мы уже несколько раз про них писали. Но можно и ещё раз (и ещё, и ещё) – потому что удивительные свойства этих чисел кажутся просто неисчерпаемыми. Первое из этих чисел – это, конечно же, ноль (он же нуль). Число это обладает настолько странными свойствами, что многие тысячи лет математики (даже самые крутые!) ноль вообще числом не считали. «Равные права» со всеми остальными числами ноль получил совсем не так давно – примерно в начале XIX века...
А второе самое удивительное число? А второе число называется бесконечность. Здесь многие из вас (и взрослые тоже!) могут начать громко возмущаться: «Какое же бесконечность число?!». Бесконечность – это бесконечность. Она бесконечная. Она такая... такая... ну, в общем, не число и всё тут.
Тем не менее, бесконечность – это число. В точности такое же, как и все остальные, просто обладающее дополнительными «чудесными» свойствами. В компанию остальных чисел бесконечность математики пустили тоже совсем недавно. Даже позже нуля!
Как понять, что бесконечность – это число? Представьте себе бесконечно длинную линию – обыкновенную числовую прямую с уроков математики. Каждая точка на этой прямой – некое число. Знакомо? Ага. И эта линия бесконечна – ведь так? Так. Теперь сверху этой прямой, прямо над точкой «ноль», давайте, взяв циркуль, построим обыкновенную окружность. И вот тут задаёмся вопросом: а эта окружность конечна или бесконечна? Сперва вопрос кажется глупеньким: какая же она бесконечная, если вот она, вся, целиком, перед нами?! Конечно же она конечная!
Убеждены? Ну что ж. Отметим точку в самом верху нашей окружности (назовём её Z). Теперь выберем какую-то точку на нашей числовой прямой (назовём её P). А теперь возьмём линейку и соединим верхнюю точку окружности с этой точкой с помощью отрезка. При этом отрезок обязательно пересечёт окружность в какой-то точке – точке C. Нетрудно сообразить, что таким образом мы задаём математическую взаимосвязь, однозначное соответствие: каждой точке окружности будет «отвечать» (соответствовать) ровно одна точка прямой. Самая нижняя точка окружности (обозначим её как О) – точке «ноль». Точке P – точка С...
Мы с вами сейчас совершили самую удивительную в мире вещь: мы бесконечно длинную прямую «свернули» во вполне себе «конечную» окружность! Попробуйте сами, поприкладывайте линейку, почертите отрезки... Понимаете? Каждой точке прямой соответствует одна и только одна точка окружности! Хуже того, математика неопровержимо доказывает, что бесконечно большую плоскость (лист бумаги, растянутый «до бесконечности») можно таким же образом «свернуть» в сферу, в поверхность, ограничивающую шар. В глобус из кабинета географии – тот самый, который можно просто взять и унести руками! И в этом случае бесконечности (на прямой или на плоскости) будет соответствовать просто точка (на окружности или сфере). Точка Z. Она же точка бесконечности, «число бесконечность». Которое обозначается значком «∞». «Уложенной на бок восьмёркой».
Число «бесконечность» обладает множеством парадоксальных свойств. Например, оно может быть положительным (со знаком «плюс») и отрицательным (со знаком «минус»). Всё просто – если мы откладываем наши отрезки из точки Z в положительную сторону, «направо», то в конце концов (правильнее сказать «неизвестно когда», ну да ладно) доберёмся до «плюс бесконечности». А если в отрицательную сторону, «влево» – то до «минус бесконечности». Но что будет, если мы попробуем бесконечность, скажем, разделить на 2? Или на 3? Или даже на тысячу? А в результате снова будет всё та же бесконечность! А если наоборот – умножим бесконечность на какое-то другое число? Снова будет «просто бесконечность»!
«А если вычесть из бесконечности другую бесконечность?» – спросите вы коварно. А здесь мы получим третье удивительное «число» (точнее, уже не совсем число) – неопределённость! Всё будет зависеть от того, как именно мы будем вычитать одну бесконечность из другой. Скажем, если мы возьмём все целые числа – 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Ведь это бесконечное множество? Да. А если возьмём все целые нечётные числа? 1, 3, 5, 7, 9 и так далее? Тоже бесконечное множество. А если «вычтем» из первой бесконечности вторую? У нас останется множество чётных чисел – 2, 4, 6, 8 и так далее опять до бесконечности. То есть «бесконечность минус бесконечность будет равна (в данном случае) опять бесконечности»...
Именно для того, чтобы показать своим ученикам наглядно, на практике, эти удивительнейшие свойства бесконечности, английский математик (и писатель-фантаст, между прочим) Йен Стюарт придумал свой «удивительный словарь» или «мега-словарь».
Итак, рассказываем: богатое и важное столичное издательство «Супер-пупер умная книга» решило издать для школьников словарь, который содержит все возможные слова в русском языке. И те, которые бывают, и те, которых не бывает – вообще все! «Как это такое можно сделать?» – удивитесь вы. Между прочим, довольно просто. Ну, для математики.
В русском алфавите – 33 буквы, от «А» до «Я», надеемся, вам этого объяснять не надо. Тогда первое слово в нашем словаре будет такое:
А
А второе?
АА
А третье?
ААА, АААА, ААААА, АААААА и так далее – до бесконечно длинного «ААААААААААААА...».
Дальше в нашем словаре пойдут вот такие слова:
АБ, АБА, АБАА, АБААА, АБАААА... – до «АБААААААААААААААААА...», снова бесконечно длинного.
Потом – АББ, АББА, АББАА, АББААА, АББАААА... АБВ, АБВА, АБВАА...
Потом – АВ, АВА, АВАА, АВААА … АВБ, АВБА, АВБААА … АЯ, АЯА, АЯАА … АЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯ
Постепенно мы доберёмся до слов на букву «Б»:
Б, БА, БАА, БААА, БАААА, БААААА... …
ББ, ББА, ББАА, ББААА, ББАААА, ББААААА... …
...
В, ВА, ВАА, ВААА, ВАААА, ВААААА...
...
ВБ, ВБА, ВБАА, ВБААА, ВБАААА, ВБААААА...
...
ВББ, ВББА, ВББАА, ВББААА, ВББАААА...
Самым последним словом в нашем словаре, само собой, будет бесконечно длинное «ЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯ...».
Понимаете общее правило? Каждый раз мы подставляем по очереди следующую букву русского алфавита, причём со всеми повторами – от одного раза до бесконечности.
«Но ведь эти слова совершенно бессмысленны!» – скажете вы. «Разве что слово АББА – это такая музыкальная группа есть, но разве название этой группы настоящее слово?». Ответ прост: если мы будем строить наш словарь строго «по правилам», то в нем обязательно рано или поздно окажутся и самые настоящие слова русского языка: СОБАКА, МОРКОВЬ, УЧИТЕЛЬНИЦА и вообще все-все-все. И даже все (именно всё!!) тексты на русском языке – только без пробелов:
УЛУКОМОРЬЯДУБЗЕЛЁНЫЙ
СЕРОБУРОМАЛИНОВЫЙЁЖИК
ВНЕКОТОРОМЦАРСТВЕВНЕКОТОРОМГОСУДАРСТВЕ
ЯУЧУСЬВТРЕТЬЕМКЛАССЕИСИЖУСДРУГОМВАСЕЙ
ХАХАХАСИДОРОВНЕМЕДЛЕННОИДИКДОСКЕХИХИХИ и т.д.
Сами понимаете – слов много, в один том (даже очень толстый и очень мелким шрифтом) такой супер-пупер словарь не уместишь. И в издательстве решают издать наш турбо-словарь в 33 томах – по числу букв русского алфавита. В первом томе – все слова на букву «А», во втором – на букву «Б», в третьем – на букву «В», в четвёртом – на букву «Г»... Вот первый том:
А, АА, ААА, АААА...
АБ, АБА, АБАА, АБААА...
АББ, АББА, АББАА, АББААА...
…
АВ, АВА, АВАА, АВААА, АВАААА...
…и последнее слово будет
АЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯ – бесконечно длинное.
И тут один сотрудник издательства – самый умный! – вдруг соображает. Если у нас в первом томе все-все слова начинаются на букву «А», тогда зачем писать её в начале слов? Мы же и так знаем, что в этом томе все слова начинаются на «А»! А значит, первую «А» можно спокойно пропустить, отбросить – и печатать придётся меньше, и том получится не такой толстый, верно? Все аплодируют, все согласны, идея отличная, сотруднику срочно оформляют премию за такое умное рационализаторское предложение. И тогда в нашем первом томе остаются слова:
А, АА, ААА, АААА...
...
Б, БА, БАА, БААА, БАААА...
ББ, ББА, ББАА, ББААА...
…
В, ВА, ВАА, ВААА, ВАААА...
… … … … …
и наконец, последнее слово будет
ЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯЯ... – до бесконечности!
«Но подождите!» – скажете вы. «Ведь это же... это же те же самые слова, из которых изначально состоял ВЕСЬ словарь! ВЕСЬ ВООБЩЕ, а не только первый том!!». Именно! Пятёрка! Получается, что в первом томе нашего словаря («на букву А») будут содержаться вообще ВСЕ слова нашего словаря – изо всех томов сразу, даже тех, которые ещё не напечатаны! Все 33 тома будут «упакованы» только в один том – первый! Но кто мешает нам первый том разделить точно так же на 33 тома, по числу букв в алфавите – тех, которые стояли «на втором месте»? Никто. И снова – отбросив одну букву, мы опять-таки получим словарь, в котором содержатся все возможные слова и фразы русского языка... Получается совершенно безумная «матрёшка» – словарь состоит из 33 томов, но при этом в одном первом томе содержатся все те же самые слова, что и во всех тридцати трёх!!! И во втором, кстати, тоже. И в третьем...
Смотрите, как удивительно – отнимая по определённым правилам от бесконечности бесконечно большую часть, мы снова получаем бесконечность, которая ничем не отличается от исходной бесконечности! Похоже на неразменный рубль (или неразменный пятак) из сказок – сколько ни отдавай его продавцу в обмен за товары, всё равно в кармане у тебя снова останется ровно один рубль (пятак). Или на волшебную школьную тетрадку, из которой можно сколько угодно дёргать чистые листы – а в ней всё равно останется ровно столько страниц, сколько было! Берём только «часть от целого» – а получаем «снова целое». Отрезаем от торта кусок размером с целый торт – а остаётся всё равно целый торт!!!
В голове не помещается, правда? А вот такое это число бесконечность – с одной стороны «просто число». Точка Z на чертеже. С другой – невообразимо «много», причём такое «много», из которого сколько ни отними, сколько ни дели его на части – а оно всё равно остаётся самим собой!
Напоследок, чтобы совсем вас удивить: немецкий математик Георг Кантор, создатель теории множеств, доказал, что бесконечность бывает разная. Что одна бесконечность может быть «меньше» или «больше» другой бесконечности! Самая маленькая бесконечность «по Кантору» называется «счётность». Скажем, те же целые числа на числовой прямой. Их бесконечно много? Да. Но при этом мы можем их пересчитать – «один, два, три, четыре...» и так далее. А бывают бесконечности, которые пересчитать вообще нельзя! Самая простая из «несчётных бесконечностей» называется сложным словом «континуум», то есть в переводе с латыни «нечто непрерывное, сплошное». Возможно, в фантастических книгах вы встречали что-нибудь про «пространственно-временной континуум», ага? А вот в математике ещё бывают гиперконтинуум, гипер-гиперконтинуум и так далее.
Непонятно? Ну, это понятно, что непонятно. Над такими непростыми вещами нужно думать долго, очень долго – и даже спустя много лет удивляться и понимать то, что очень многое «всё ещё непонятно». В частности – вопрос: а можно ли сосчитать слова в нашем супер-пупер словаре, как думаете? Представим себе, что мы можем пересчитать (перенумеровать) все слова в нашем словаре:
1. ААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААА
2. АБРАКАДАБРАКАДАБРАКАДАБРА
3. ЛЕНКАПЕТРОВАНАВТОРОЙПАРТЕНЕДАЁТМАТЕМАТИКУСПИСЫВАТЬ
4. ЫАВПРЛЫЦЩВАЛУХЗЩСАТЬСЛДЬЁГУЦРСЩЬСЗЩУЬСБЗЩБЦЗЙЩСЧБЧСЗ
5. БББББББББББААААААААААААУУУУУУУУУУУДЛЬДУЛОДАЛУОФУТБОЛФУТБОЛХОККЕЙЦЦЦ
...и так далее.
Теперь сделаем вот что: у первого слова в нашем списке возьмём первую букву, и вместо неё поставим следующую по алфавиту (вместо А поставим Б, вместо Б – В, вместо В – Г и так далее до «вместо Я ставим опять А»). У второго слова по этому же правилу заменим вторую букву. У третьего – третью, и так далее до бесконечности. Что же у нас получится? А получится, что мы придумали новое уникальное слово – такое, которого ещё нет в нашем словаре, а все «номера» для счёта слов у нас уже заняты! Какой же номер этому слову тогда можно приписать? А никакой. То есть на самом деле наш супер-мега-турбо-словарь – не просто бесконечность, а континуум! Пересчитать в нём слова нельзя. Никогда, никому, даже за бесконечно большое время! Такие дела.
