Сегодня мы конструируем комплексные числа и выясняем почему для них не определено отношение порядка.
В этой серии статей мы разбираемся с тем, как упорядоченная пара двух чисел способна служить моделью для различных числовых систем. МЫ уже создали целые числа , используя покомпонентное сложение и некоторую хитрую операцию умножения.
Давайте сегодня построим из камней и палок модель другой полезной числовой системы: кольца гауссовых чисел. Это комплексные числа с целыми вещественной и мнимой частями, подчиняющиеся стандартной комплексной арифметике. Они широко используются в теории чисел, при решении диофантовых уравнений, в теории колец и в геометрии, в которой удобно описывают регулярные решётки. Всем этим аспектам гауссовых чисел я, в своё время, посвятил несколько статей на нашем канале.
Комплексные числа, как правило, сразу определяются, как пара значений: вещественное и мнимое. Мы без особой необходимости не будем использовать подозрительную мнимую единицу, а явно запишем, что гауссовым числом является пара полноценных целых чисел:
Целые числа настоящими камнями и палками моделировать неудобно, так что вместо этого, для создания некоторого визуального образа можно использовать расположение на бесконечной дорожке, поделённой на клеточки, двух различных объектов, например, Димы и Маши, либо бесконечную квадратную решётку с выделенным нулевым узлом.
Обратите внимание на то, что я намеренно не делаю акцент на привычном геометрическом смысле комплексных чисел и представлении о комплексной плоскости. На этом этапе конструирования всё это будет лишь отвлекать от нашего занятия. Мы обязательно вернёмся к привычным геометрическим образам, но тогда, когда они возникнут сами, настолько естественно и неизбежно, что на место привычки придёт глубокое понимание природы этих образов.
Сложение и умножение
Для начала, определим сложение, как полагается, покомпонентно:
Тут нет никакой разницы с моделью целых чисел, кроме того, что все пары уникальны, и эквивалентность для этих пар тривиальна:
По этой причине, нейтральным элементом для сложения будет единственный нулевой элемент (0, 0), состоящий из нейтральных элементов в кольце целых чисел.
Мы не скрываем, что моделируем известные нам комплексные числа, поэтому сразу же воспользуемся правилом для их перемножения. Как "придумать их с нуля" мы поймём несколько позже, когда разберёмся с представлениями и расширениями алгебраических структур, а пока вспомним, что
и перепишем это правило с помощью пар:
Из-за вычитания мы при всём желании не можем построить полноценной модели гауссовых чисел, базируясь на натуральных числах, поэтому мы сразу перешли к целым.
Давайте сравним его правило умножения комплексных пар с умножением в модели целых чисел:
Смотрите, как похоже! Это, конечно же, не случайно, но что это значит мы обсудим несколько позднее.
Отношение порядка
Определить линейный порядок для гауссовых чисел можно. Например, можно ввести лексикографический порядок, то есть, сравнивать первые элементы, а если они равны, пере[одит к сравнению вторых. А можно, как-нибудь соединить все гауссовы числа, начиная с нуля по спирали или по какой-нибудь ещё линии, один раз проходящей по каждой точки решётки, и считать, большим число, имеющее больший порядковый номер при таком перечислении.
Однако, никакой способ упорядочивания комплексных чисел не будет согласован с операцией сложения и умножения. В арифметике упорядоченных множеств должны выполняться следующие утверждения:
Из условия 2) следует, что
Предположим, что введя какое-то отношение порядка, мы сочли, что i > 0. Умножим обе части этого неравенства на i:
Раз −1 у нас положительно, то согласно утверждению 3)
Однако тогда по утверждению 1) к обоим частям неравенства −1 > 0 можно прибавить положительную 1, что приводит к противоречию:
а значит, одновременно условия 1) и 2) для числа i выполняться не могут. Так что в этой модели мы обойдёмся без отношения порядка.
В завершение конструирования можно определить операцию сопряжения, не имеющую аналогов в целых числах:
Итак, не вдаваясь пока в дальнейшие подробности, мы получаем целочисленную модель гауссовых чисел:
В этой части не было особых трудностей, поскольку гауссовы числа чрезвычайно близки по своей структуре к простому прямому произведению двух колец целых чисел и не отягощены никакими отношениями эквивалентности. Единственное, что выдаёт в них комплексную природу, это специфическое правило умножения.
[Так что можем записать следующее утверждение: прямое произведение колец целых чисел изоморфно кольцу гауссовых чисел:
]
Addendum: Утверждение взятое в скобки неверно, как справедливо заметили в комментариях. Тут я погорячился. Но для дальнейшего изложения эта ошибка не существенна.
Обещаю, дальше будет интереснее! Мы поговорим о том что кроется за сходством и различиями между моделями целых чисел и гауссовых чисел и о том, какие ещё числовые системы возможно построить подобным образом.