Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю задачу по геометрии, которую в конце апреля 2023 года решали ученики 7-го класса одной из школ Ленинградской области.
Условие задачи:
В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найти расстояние от точки О до прямой MN.
Решение:
В главе IV §4 п.38 учебника на странице 81 написано, что длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. Следовательно, расстояние от точки О до прямой MN – это перпендикуляр, проведённый из О к прямой MN.
Проведя перпендикуляр из точки О до прямой MN и обозначив его ОB, мы получили два прямоугольных треугольника MOB и MOK, причём гипотенуза MO у этих треугольников общая, а острые углы BMO и OMK равны, так как по условию задачи MO – биссектриса угла М.
В главе IV §3 п.36 учебника на странице 76 даётся теорема:
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство этой теоремы приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам важно, что так как гипотенуза MO у этих треугольников общая, а острые углы BMO и OMK равны, то и сами прямоугольные треугольники MOB и MOK тоже равны.
В главе II §1 п.14 учебника на странице 29 отмечается, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т.е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
В нашем случае это означает, что лежащие напротив равных углов стороны OK и OB тоже равны.
Из условия задачи известно, что длина OK – 9 см, следовательно, длина OB – то есть расстояние от точки О до прямой MN, тоже 9 см.
Ответ: расстояние от точки О до прямой MN равно 9 см.