В бизнесе очень часто возникает задача максимизации прибыли. И очень часто среди предпринимателей можно встретить интуитивный подход к решению этой задачи. Однако, с ростом количества товаров эффективность такого способа снижается, что влечет потерю прибыли у предпринимателя. Что же делать? И тут на помощь приходит старый советский метод, нужно всего лишь...
Мы открываем бизнес...
Конечно, самым разумным решением в таком случае является передать машине задачу оптимизации прибыли. Самое тривиальное это заставить ее перебрать все варианты и выбрать тот, при котором прибыль максимальна. Однако, машина хоть и эффективнее будет выполнять свою работу, чем человек, но с усложнением задачи ( появление новых ограничительных условий или увеличение ассортимента товара ) время необходимое для решения задачи машиной начинает быстро расти. В итоге, если у нас имеется расширяющийся бизнес ( как по количеству торговых точек, так и по разнообразию товара ), то для принятия оптимального решения может потребоваться много времени.
Тем временем конкуренты, которых мы по счастливой случайности умудрились обойти, наступают нам на пятки и вот-вот обгонят нас. У них более мелкий бизнес и собственно вести планирование и заманивать людей им проще ( если мы, конечно, играем честно и не пытаемся их обанкротить, продавая товары ниже себестоимости ). Кажется, что крах неизбежен - придется терпеть убытки...
И тут на помощь приходит советский математик и лауреат нобелевской премии Леонид Витальевич Канторович! Вот он точно знал как нужно вести дела в бизнесе. Это, конечно, великий и достаточно значимый человек как в математическом мире, так и в экономическом. Одно из его множества достижений является симплекс-метод - это алгоритм, позволяющий оптимизировать производство/продажи на предприятии. Давайте же на конкретном примере разберемся в чем же заключается открытие Леонида Витальевича и его польза для будущего поколения!
Бизнес по-советски
Пусть у нас имеется завод, собирающий два вида продукции: телевизоры и компьютеры. Известно, что прибыль с продажи телевизора и компьютера составляет 2 у.е. и 5 у.е. соответственно. Также известно, что для сборки одного телевизора требуется один экран и одна плата, а для сборки компьютера - один экран и 3 платы. На складе имеется 100 экранов и 150 плат. Сколько нужно произвести телевизоров и компьютеров, чтобы прибыль была максимальна? Запишем все это в более формальном виде:
Теперь, когда задача приобрела строгую математическую форму, можно приступить к ее решению.
Первым делом нужно все неравенства в системе привести к неравенству со знаком меньше или равно, умножив на -1, если это необходимо. Однако это не касается ограничений на неотрицательность аргументов x_i ( в данном случае третьего и четвертого ограничительных условий). У нас же все приведено к этому виду, поэтому переходим к следующему шагу.
Превратим все неравенства, кроме условий на неотрицательность переменных, в равенства, введя новые переменные y_1 и y_2, обозначающие остатки экранов и плат на складе соответственно. Остатки, разумеется, тоже не могут быть отрицательными. Таким образом задачу можно переписать следующим образом:
Замечу, что в нашей модели новые переменные y_i имеют нулевые коэффициенты в функции F, так как остатки материалов со склада - не продаются, следовательно, прибыли не дают.
Когда задача приняла подобающий вид, мы можем выписать таблицу, где в названии стоят названия переменных, а в строках выписаны ограничительные условия. На пересечении соответственного столбца и строки в таблице стоит коэффициент при соответствующей переменной и условии. В последней строке таким же образом выписана функция прибыль, но вместо просто коэффициентов должны быть выписаны коэффициенты, умноженные на -1. Для данного примера выглядеть это должно так:
Слева в столбце можно заметить странную запись двух переменных y_1 и y_2. Это базисные переменные, то есть переменные, которые в своем столбце имеют все нули, кроме одного элемента.
Хорошо, теперь когда мы составили симплекс-таблицу можем приступить к поиску оптимального решения.
Алгоритм
Шаг 1
Проверяем оптимальность существующего плана. Если в последней строке имеются отрицательные числа, то значит план неоптимальный.
Шаг 2
Выбираем из строки столбец с наименьшим элементом. Этот столбец будем называть разрешающим.
Шаг 3
Найдем разрешающую строку. Для этого поделим каждый элемент столбца b_i на элемент соответствующей строки разрешающего столбца и сравним результаты деления.
И выберем строку с наименьшим значением. Эта строка и будет считаться разрешающей.
Примечание: если в ходе деления получилось отрицательное число, то оно не рассматривается при выборе разрешающей строки.
Шаг 4
Теперь необходимо переменную при разрешающем столбце (x_2) сделать базисной переменной. Для этого поделим всю разрешающую строку на число стоящее при пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца. И вычтем поэлементно строку из остальных строк, умножив вычитаемое на число таким образом, чтоб все остальные числа при разрешающей столбце, кроме стоящего на пересечении, обратились в 0.
Теперь, если план все также неоптимальный, то возвращаемся к первому шагу. В ином случае мы уже получили оптимальное решение.
Итог
В итоге по финальной таблице можно понять сколько нужно произвести телевизоров и компьютеров и какую максимальную прибыль можно получить. Необходимо произвести 75 телевизоров, 25 компьютеров и прибыль будет составлять 250 у.е.
Заключение
Таким образом, с помощью такого прекрасного алгоритма как симплекс-метод вы можете оптимизировать производство/сбыт товаров, затратив на решение задачи адекватное время. Конечно, у алгоритма есть свою нюансы, например, иногда может требоваться, чтобы все числа x_i были целыми, а симплекс-метод будет выдавать дробные. Из такого случая тоже имеется выход: метод Гомори. Да и у самого симплекс-метода есть много вариаций и улучшений. Однако приведенной в статье версии вполне достаточно, чтоб решать достаточно сложные задачи.
Конечно, применение математики в экономике одним симплекс методом не ограничивается. Теория игр, линейное программирование, дифференциальные уравнения - все эти страшные слова можно встретить в математической экономике.
Хотя по моему мнению все эти дисциплины легче всего прочувствовать на конкретных примерах из экономики, чем по строгим учебниками.
А на этом все. Дайте знать, если хотите больше ознакомительных статей по смежным тематикам!
