Основные формулы геометрической прогрессии:
1. Формула n-го члена геометрической прогрессии:
2. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:
1. Проценты в прогрессии
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Решить эту задачу можно, не прибегая к формуле нахождения n-го члена прогрессии. Будем рассуждать так: в 2000 году прибыль бизнесмена была 5000 рублей, а в 2001 она выросла на 300%. Переведем 300% в дробь и получим 300/100 = 3. Таким образом, в 2001 году Бубликов к своим 5000 рублей прибавил еще три раза по столько же и получил:
В 2002 году к тем 20000, которые он получил в прошлом году, прибавились еще 300% от этой суммы, следовательно, в 2002 году он получил
Рассуждая аналогично, придем к выводу, что в 2003 году Бубликов увеличил свой капитал на
Теперь рассмотрим решение с применением формулы для нахождения n-го члена геометрической прогрессии.
Обозначим за b1 первый член геометрической прогрессии, тогда второй член прогрессии можно вычислить так:
Таким образом, знаменатель прогрессии q=4, а b1=5000.
Ответ: за 2003 год Бубликов заработал 320 000р.
2. Задача про богача и «выгодную» сделку. Сумма геометрической прогрессии
Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который в течение 15 дней ежедневно должен был приносить по 1000 р., а взамен в первый день богач должен был отдать 10 р., во второй — 20 р., в третий — 40 р., в четвертый — 80 р. и т. д. в течение 15 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки? В ответ запишите, сколько рублей потерял богач за 15 дней.
Посчитаем, сколько денег получил, и сколько отдал богач за 15 дней:
Чтобы найти, сколько он выплатил этому хитрецу, применим формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, но для начала составим саму последовательность:
Таким образом, богач потерял 327 670 – 15000 = 312 670р.
Ответ: богач потерял за 15 дней 312 670р.
3. Биржевые торги. Снова обойдемся без прогрессии
На биржевых торгах в понедельник вечером цена акции банка «Городской» повысилась на некоторое количество процентов, а во вторник произошло снижение стоимости акции на то же число процентов. В результате во вторник вечером цена акции составила 99% от ее первоначальной цены в понедельник утром. На сколько процентов менялась котировка акции в понедельник и во вторник?
Когда мы решаем задачи, где нужно найти процент или часть от неизвестного, мы часто прибегаем к такому приему, как обозначение этого неизвестного через 1. Действительно, 1 – это и целая часть, и 100%.
Применим этот подход к решению задачи.
Пусть на x процентов цена акции повысилась в понедельник вечером и понизилась во вторник, тогда в понедельник после повышения акции стоили
По условию эта стоимость равнялась 99% от изначальной стоимости, т.е. в нашем случае от 1, поэтому
Решим уравнение и получим, что x=10.
Ответ: котировка акций менялась на 10%.
Если было полезно и интересно, ставьте лайк) и подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить другие статьи