Математика в школе. Решится всё... со временем

Задачи, где нужно найти массу раствора, удобнее всего решать с помощью уравнений или систем уравнений. Кто-то может со мной не согласиться, сказав, что составление уравнения – та еще морока, но, на самом деле, есть несколько хитростей, заметно упрощающих этот процесс. Рассмотрим их. 1 хитрость. В задачах про смеси иногда требуется найти массу раствора, а иногда – массу кислоты, содержащуюся в растворе. Однако, составляя уравнение, мы всегда приравниваем массы кислот, содержащихся в растворах, а не массы самих растворов...

На днях открываю приложение «Камера» и вижу это: Как давать ученикам домашнее задание, чтобы они не могли использовать для его выполнения ИИ. Или, по крайней мере, бездумно не заливали его на сайт и не списывали с него? Любой восьмиклассник знает, что совсем необязательно вдумываться в задачу, фото которой выслал учитель. Можно просто «показать» ее ИИ и он за несколько секунд избавит от хлопот, связанных с выполнением «домашки». Нет, конечно, ИИ заботится об образовании современных школьников и всеми своими шестеренками помогает развить мышление...

Для начала хорошая новость: все неравенства и системы неравенств, предложенные в ОГЭ, решаются по одному и тому же принципу! Рассмотрим этот принцип на простейшем примере. Можно, конечно, просто сидеть и подставлять значения из промежутков в неравенство. Но это способ долгий и, честно говоря, не самый надежный. Решение неравенства куда проще и быстрее. Когда мы видим многочлен, который сравнивается с нулем, первое, что должны сделать, это разложить его на множители. Здесь разложение на множители происходит с помощью вынесения общего множителя за скобки...

Заметим, что для решения систем уравнений часто используется прием сложения. Его смысл состоит в том, что при сложении выражений одна из переменных сокращается полностью и в результате мы получаем уравнение относительно одной переменный. Мы видим, что переменная «у» в первом и втором уравнениях отличаются только знаком. Сложим эти два уравнения и сократим переменную: Итак, мы получили квадратное уравнение, поэтому оно будет иметь два корня: На самом деле, квадратное уравнение может иметь два корня, может один, а может и не иметь корней вовсе...

Точка пересечения биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной в треугольник окружности. Это значит, что если нужно вписать в треугольник окружность (а это можно сделать всегда), то, чтобы найти ее центр, нужно построить хотя бы две биссектрисы. Точка их пересечения как раз и будет центром искомой окружности. Как построить отрезок, являющийся радиусом вписанной окружности? Для этого нужно построить перпендикуляр к одной из сторон треугольника так, чтобы он проходил через точку пересечения биссектрис...

Пусть турист проплыл расстояние из пункта «А» в пункт «В» и вернулся обратно. Для решения задачи составим неравенство, которое будет обозначать, что общее время туда и обратно не превышает 5 часов. Почему, составляя неравенство, мы сравниваем именно время, а не, допустим, скорость. Ведь скорость нам тоже дана. Ответ на этот вопрос прост: время, обозначенное в задаче и ограниченное 5 часами, является основным условием, а скорость, как бы, второстепенна. Иначе говоря, турист должен «уложиться» в эти 5 часов, и не важно, как он это сделает...

Теорему синусов, также как и теорему косинусов, используют для решения треугольника. Подробнее о решении треугольника можно прочитать здесь. А здесь теорема косинусов, если вдруг забылась... С помощью теоремы синусов, зная, например, две стороны и угол, прилежащий к одной из них (или его синус), можно найти остальные углы треугольника. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности. Запишем это в виде формулы: Где R – радиус описанной окружности...

Теорема косинусов – это один из инструментов, используемых для решения треугольника. Решить треугольник, значит найти все его шесть элементов – три угла и три стороны. С помощью теоремы косинусов можно найти одну сторону треугольника, если известны две другие стороны и косинус угла между ними. Также с помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла (а через него и сам угол), если известны все три стороны треугольника. Заметим, что теорема косинусов справедлива для любого треугольника – и для остроугольного, и для тупоугольного, и для прямоугольного...

В девятом классе на место привычного и понятного прямоугольного треугольника вместе с его синусом, косинусом и тангенсом с котангенсом приходит она - единичная окружность. В ней невероятным образом также, как и в треугольнике, стойко ассоциирующимся с Пифагором, уживаются уже известные тригонометрические функции. Кроме этого, в 9 классе появляются формулы приведение, запоминать которые - то еще удовольствие. Сегодня мы покажем, что, на самом деле, зубрить их не нужно. Они вполне понятны. Эти две формулы доказываются аналогично...

Как говорят в Японии: «Учиться – что толкать тележку в гору». Сегодня мы начнем толкать эту тележку с гранитом науки алгебры, а точнее вспомним тему «Неравенства». В начале 9 класса те, кто осваивает алгебру по учебнику А. Г. Мерзляк, вновь встретятся с доказательством неравенств. И если со строгими неравенствами, когда «а» просто меньше «b» все понятно, то с нестрогими неравенствами еще предстоит разобраться. Поясним сразу, что знак «больше или равно» имеет смысл в случае, когда одно значение или больше другого, или ему равно...

Запишем это определение на языке математики: В математике существует два числа, которые при возведении в степень не изменяются, это числа 1 и 0. Поэтому, вводя определение логарифма, добавим следующие условия: Если бы а было меньше нуля, т.е. отрицательное, то значение b менялось бы в зависимости от четности значения с. Если возвести отрицательное число а в четную степень с, то получим положительное число b. Если возвести отрицательное число a в нечетную степень с, то получим отрицательное число b...

Итак, наш заводной кузнечик может прыгать по числовой прямой хаотично, т.е., например, так: Из 0 в 1, из 1 в 0, из 0 в -1, и т.д. до -9. Или, например, так: из 0 в 1, из 1 в 2, из 2 обратно в 1, из 1 в 2, из 2 в 3, из 3 обратно в 2 и т.д. Таким образом, он приземлится в точке 5. Прыгая таким образом, расстояние в два единичных отрезка кузнечик преодолеет за 4 прыжка. На самом деле, как бы ни скакало насекомое, остановится оно всегда в точке с нечетным значением, которое меньше (по модулю) 11. Действительно,...