Рассмотрим задачу, описывающую физический процесс.
Материальная точка движется по прямой с замедлением, ее начальная скорость 15 м/с. Найти время, через которое точка остановится.
Для решения этой задачи составим уравнение, отражающее изменение скорости в зависимости от времени. Поскольку в момент остановки скорость точки станет равной нулю. Приравняем полученное выражение к нему.
Областью определения этой функции называются такие значение переменной t, при которых выражение в левой части уравнения имеет смысл.
Поскольку функция описывает физический процесс, а переменная t обозначает время, то t будет больше или равна нулю. Таким образом,
Однако если бы рассмотренное выше уравнение не описывало физический процесс, то областью определения были бы все вещественные числа, а именно
Теперь рассмотрим функцию, заданную в виде дроби, числитель и знаменатель которой содержат знак корня.
Найти область определение функции D(f)
Мы видим, что в числите и знаменателе дроби находятся выражения, содержащие знак радикала. А это значит, мы должны потребовать, чтобы подкоренные выражение были неотрицательными:
Однако второе выражение находится в знаменателе, то есть, мы делим на него. А на что делить не можем? Разумеет, на ноль (и на нуль). Поэтому, несколько меняем свои требования и приходим к системе:
Таким образом, выражение, находящееся в числителе, может быть нулем или положительным числом, а выражение в знаменателе – только положительным числом.
Решим эти неравенства и отметим их решения на одной числовой прямой:
Значение выражения (х+1)^2 всегда неотрицательно, поэтому переменная «х» не влияет на знак вышеуказанного выражения. При х=-1 выражение обращается в ноль.
Таким образом, аргумент функции (т.е. «х») может принимать любые значения, кроме 1. Покажем это на числовой прямой:
Решением системы будет объединение этих интервалов.
Круглые скобки говорят о том, что значение не входит в интервал.
Чтобы найти область определения функции, необходимо учесть два ограничения:
1. Если выражение стоит под корнем, значит, оно должно быть неотрицательным.
2. Если выражение стоит в знаменателе, значит, оно не должно быть нулем.
Решив составленные неравенства и отобразив их решения на числовой прямой, найдем область пересечения. Эта область пересечения и будет решением, т.е. областью определения функции.