На днях мне попалась интересная задачка на занятиях математикой с моим учеником. Мне она показалось довольно сложной для 5-го класса. Честно говоря, я не знаю, смог бы я её решить, будучи в 5-м классе и сколько бы у меня заняло времени на её понимание. Поэтому мне хотелось бы максимально подробно рассказать о решении тем учащимся школы, у кого возникают трудности с таким типом задачи.
Задача
После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании по 8 плиток в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 9 — тоже остается неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома? Запишите решение и ответ.
Решение:
Как я уже неоднократно писал, в любой задаче важны рисунки. Что-то не понимаешь — рисуй. Хочешь уточнить решение и структурировать мысли — рисуй. Хочешь проверить своё аналитическое решение — рисуй. Поэтому я сделал рисунк, состоящий из трех картинок (можно листать вправо).
Теперь, когда возникли обобщенные представления, нам нужны формулы. На первый взгляд, в задаче слишком много неизвестных, а вот данных недостаточно для решения. В этом вся суть сложных математических задач. Пока не начнешь хоть что-то писать, очень трудно всё представить в уме.
Поэтому начнем делать заметки...
Заметка 1. Квадрат размером 10х10 не получается. Значит плиток уже меньше сотни: N < 100.
Заметка 2. Выкладывание плиток по 9 и 8 штук в ряд дало бы прямоугольники в общем случае. НО только при условии, что N было бы кратным 9 и 8. В нашем случае это не так. В обоих случаях у нас есть незаполненный ряд. По сути, количество плиток в незаполненном последнем ряду означает остаток от деления N на количество плиток в ряду. То есть N mod 8 = x и N mod 9 = y.
Заметка 3. В двух последних раскладках количества плиток в незаполненных рядах связаны между собой.
x — количество плиток в незаполненном ряду при выкладывании по 8 плиток в ряд;
y — количество плиток в незаполненном ряду при выкладывании по 9 плиток в ряд.
Математически соотношение можно записать: y = x - 6. Посмотрите условие и убедитесь в этом.
Замечание 4. Остаток никогда не превышает то число, на которое делилось исходное количество плиток N. Поэтому x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} и y ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Более того, в обоих случаях ряды не заполнены. Значит остатки не могут равняться нулям. А соотношение y = x - 6 дает только одно возможное решение, когда: x = 7 и y = 1.
Замечаение 5. Получается, что с одной стороны N = 8•b + 7 , а с другой стороны N = 9•a + 1. Если мы приравняем эти выражения, то получим связь между a и b. Можно выразить b через a и подобрать такие целые числа a, чтобы b тоже получалось целым. При этом N было меньше 100. Альтернативным решением является перебор множеств значений N, полученных из каждой формулы, а затем поиск пересечения этих множеств. Что в итоге даст ответ: N = 55.
А теперь полное решение. Чистая математика и немного комментариев для подробностей
Как вам задачка для 5-го класса? Сложная или простая? Смогли бы вы решить её самостоятельно? Напишите в комментариях 😉
Понравилась заметка ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram