Обожаю, когда дети начинают рассказывать решение геометрической задачи со слов: "По логике...". А дальше распахиваются двери Хогвартса, драконы взмывают в небеса и два хоббита карабкаются по Роковой горе.
Очень люблю жанр фантастики, но предпочитаю не путать вымысел и реальность. Но как их разграничить? Где найти критерий истинности?
Имя ей - импликация
Логическая операция для составления сложных высказываний. На русский язык можно перевести с помощью союзов "если... то...". Для записи используется знак стрелочки. А → В, где А называется условием или посылкой, а В - заключением.
Рассмотрим таблицу истинности для импликации.
Из таблицы видно, что если условие и заключения истинны, то вся импликация истинна. Любая математическая теорема представляет собой импликацию.
Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны.
Допустим про треугольник АВС известно, что он равнобедренный. То есть условие импликации истинно. Тогда нужно выяснить истинно ли заключение. Если да, то теорема верна. Из одного следует другое.
Если в задаче выполнено условие теоремы (импликации), то будет верно и заключение. Потому что известно, что вся импликация истина.
Что произойдет, если решать задачу без опоры на условия?
Если условие импликации ложно, то она будет верна вне зависимости от заключения. Из лжи следует всё что угодно. Поэтому так важно опираться в решении задач на факты. Иначе можно прийти к весьма парадоксальным выводам.
Например, доказать, что любой треугольник равнобедренный.
Теорема. Любой треугольник равнобедренный.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что две его стороны равны.
Проведем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Они либо пересекаются, либо нет. Если биссектриса и серединный перпендикуляр не пересекаются, значит они либо совпадают, либо параллельны. В любом случае биссектриса будет также перпендикулярна стороне АС. А значит она совпадёт с высотой треугольника. Следовательно, ∆AВС - равнобедренный.
Пусть биссектриса и перпендикуляр пересекаются в точке G. Рассмотрим все возможные варианты расположения этой точки.
- 1 случай. Точка G лежит внутри треугольника.
Опустим перпендикуляры GH и GI к сторонам АВ и ВС. Так как все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, то GH = GI. Отрезки AG и CG также равны по свойству серединного перпендикуляра (все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от концов данного отрезка). Значит ∆AGH = ∆CGI (по гипотенузе и катету). Следовательно, ∠HAG = ∠ICG.
∆AGC - равнобедренный (AG = CG) ⇒ ∠GAC = ∠GCA (по свойству равнобедренного треугольника).
∠ВАС = ∠HAG + ∠GAC
∠ВСА = ∠ICG + ∠GCA
Если слагаемые равны, то и суммы равны. Значит ∠ВАС = ∠ВСА ⇒ ∆AВС - равнобедренный по признаку.
- 2 случай. Точка G лежит вне треугольника.
Тогда перпендикуляры GH и GI могут падать либо на стороны АВ и ВС, либо на их продолжения.
В любом случае используем свойства биссектрисы и серединного перпендикуляра и доказываем, что ∠ВАС = ∠ВСА. В первом случае, как разность равных углов. Во втором как смежные углы к равным. И опять приходим к выводу, что ∆AВС равнобедренный.
- 3 случай. Точка пересечения лежит на стороне АС.
Так как точка G является серединой АС, то ВG будет также медианой треугольника. А значит ∆AВС равнобедренный.
Таким образом, теорема доказана.
В чем подвох?
Удалось ли Вам найти ошибку в доказательстве. Какое ложное утверждение использовалось?
Дальше пойдут спойлеры.
В доказательстве утверждается, что рассматриваются все возможные случаи. Это не так. Во втором пункте нет варианта, что основание одного перпендикуляра придется на сторону треугольника, а другого на продолжение стороны. В этом случае не удастся доказать равенство углов, а следовательно и равнобедренность треугольника.
На подумать
В этой задаче есть еще одно утверждение, истинность которого под вопросом. Может ли точка пересечения биссектрисы угла треугольника и серединного перпендикуляра к противоположной стороне находиться внутри треугольника?
Надо подумать.
