Все заявления в математике нужно подтверждать доказательствами, поэтому построение цепочки логических выводов — это основная работа математика. Успешное доказательство — это знак подлинности, который отличает признанную теорему от гипотезы. Тоже самое и в олимпиадной математике — нам нужно учиться строить доказательства, причем не только строгое, но и изящное.
Что же такое доказательство? Это логично выстроенные высказывания, которые вытекают из уже известных идей. В математике используется несколько способов доказательств.
🎁Контрпример
Если на математическое утверждение вы можете привести контрпример, то это и есть доказательств ложности утверждения. Например, при умножении любого числа на само себя результат будет четным. Если умножить 4 на 4, то будет 16. Логично, но если умножить 7 на 7, то получится 49. Вот он, контрпример.
Точно также на логическое утверждение «все мопсы черные» мы можем предоставить обычного бежевого мопса в качестве контрпримера.
Но если контрпримера нет, это не значит, что утверждение истинно. Нам потребуется другой метод.
👮♀️Прямое доказательство
Утверждение «при умножении любого числа на само себя результат будет четным» мы не можем доказать логически, но мы можем скорректировать гипотезу и попробовать доказать, что «при умножении любого четного числа на само себя результат будет четным».
Рассмотрим пример и умножим 4 на 4. Каждую четверку можно представить в виде произведения 2×2, получим 4×4=2×2×2×2. Вынесем за скобку двойку и получим 4×4=2×(2×2×2). Это утверждение легко переписать абстрактно и получить общую формулу n×n=2×(k×k×k).
🐰Доказательство от противного
В этом методе мы считаем, что утверждение ложно, после чего логически приходим к противоречию. Итак, n — четное число, но мы утверждаем, что n×n в результате нечетное. Тогда в выражении n×n=n+n+…+n количество чисел n — нечетное, а значит и число n — нечетное. Мы пришли к противоречию.
🎲Метод математической индукции
Это продвинутый метод доказательства, который используется в старших классах. Метафорически говоря, это метод домино: выстроив костяшки домино в ряд и толкнув первую, можно обрушить одну за другой их все. А чтобы все они повалились, нам необходимо лишь заставить упасть первую и убедиться, что каждая доминошка пинает следующую. Об этом методе читайте в нашем телеграм-канале.
#математика для детей #олимпиадная задача #решение задач #логика #задача на логику #математические задачи #математика #математическийкружок #математическиеолимпиады
