Ну да, неизвестно, — послышался все тот же дрянной голос из кабинета, — подумаешь, бином Ньютона! Умрет он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвертой палате».
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня пришло время развенчать ироничность выражения "бином Ньютона" как изображения чего-то запредельно сложного и доступного только избранным. Показать я это хочу, используя простую и наглядную конструкцию, которая называется треугольник Паскаля.
Как видите, каждое число в треугольнике равно сумме двух расположенных над ним чисел. Ничего не напоминают Вам эти числа?
Если нет, то вспомните формулу квадрата и куба суммы:
А после этого обратите внимание, какие коэффициенты стоят во второй и в третьей строках треугольника Паскаля, если не считать вершину. Становится понятно, что эта конструкция определяет коэффициенты в разложении квадрата, куба и т.д. суммы двух слагаемых - на языке математики - бинома!
С первым словом разобрались, но при чем же здесь Ньютон? Оказывается, именно этот человек впервые расписал общую формулу (строго говоря, он была известна и до него, но н всё обобщил) вычисления n-ной степени бинома, ведь, согласитесь, из треугольника Паскаля совсем не видно, в какой же степени будут входить переменные a и b в итоговую формулу:
Понятно, что как и часто в природе, в этой математической формуле правит бал симметрия, но ведь это надо доказать! Ньютон сделал это с помощью одного из самых красивых и логически стройных методов - математической индукции. Вот, что у него получилось:
Вот он - "великий и ужасный бином Ньютона", хотя я соглашусь с тем, что эта формула может легко запутать человека подзабывшего математику. Давайте пройдемся по каждому её символу. Начнем со знака суммы - заглавной греческой буквы "сигма":
Как видите, это всего лишь удобная и компактная запись для обозначения суммы нескольких аргументов. Показатель k как-бы "пробегает" каждое из значений от 0 до 5, подставляясь в выражение под знаком суммы. Затем все эти выражения складываются.
Следующий знак - посложнее, и уже знаком тем, кто помнит комбинаторику - науку, связанную с выбором и расположением в произвольном множестве элементов. Так вот, этот "ужасающий" символ - всего лишь количество сочетаний из n элементов по k - количество способов выбрать, например, из десяти шаров разных цветов, только 3, причем каждый набор должен быть уникальным:
Формула подсказывает, что таких вариантов целых 120 штук!
Ну что же, все самые сложные элементы бинома Ньютона разобраны и теперь можно применить эту формулу, например, для той же самой четвертой степени бинома:
Складываем каждое из полученных результатов и получаем верную формулу! Ну что, теперь не страшно? Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас. На канале есть статьи на любой вкус!