Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем заниматься абстрактной математикой. В прошлом материале мы подошли к понятию открытого множества, по сути переписав школьное определение интервала.
Сейчас я предлагаю Вам разобраться, почему на языке открытых множеств можно описывать структуру произвольного пространства как такового. Конечно, размышлять будем на самом простом и привычном - вещественной оси.
В слово "пространство" я пока не вкладываю никакой определенный смысл.
В общефилософском смысле "описание" - это способ языковой индивидуализации объектов, позволяющий осмысливать их внутри самих себя как некоторые отдельные целостности. Таким образом, чтобы описать открытое множество, кроме определения, очевидно необходимо рассмотреть взаимосвязь различных открытых множеств, способы их порождения. Приступим!
Объединение открытых множеств
Первый пример - самый тривиальный:
Объединение таких открытых множеств - явно множество открытое, ведь какую-точку множества (a,b)ꓴ (c,d) не возьми, она будет являться внутренней, т.е. для неё будет существовать "хорошая" окрестность, полностью включенная в объединение.
Если интервалы "перекрываются" таким образом, мы также получим открытое множество
И даже если объединим интервалы, конец одного из которых совпадает с началом другого, мы получим открытое множество, просто без точки b.
Бесконечные интервалы
Если возьмем объединение открытого луча и интервала в таком виде, мы всё так же получим открытое множество - сам исходный луч (а,+∞).
Наконец, если мы возьмем объединение двух противоположно направленных открытых лучей, то в случае, приведенном на рисунке, получим в объединении открытый интервал - всю вещественную ось.
Я не рассмотрел некоторые частные случаи взаимного расположения конечного числа интервалов. Думаю и так всё понятно, тем более конфигураций для вещественной оси не так много.
Объединение бесконечного числа открытых множеств
Комбинируя рассмотренные выше способы на любое (счетное или континуальное) количество объединений, мы получим, что:
Сколько бы мы не объединяли открытых множеств, мы всё равно получим множество открытое! А в определенных случаях мы можем получить и всю вещественную ось и произвольный интервал на ней!
Лучшая аналогия, которую можно представить для открытых множеств - это "кирпичики", с помощью которых можно построить здание. Мы точно знаем, что из себя представляет каждый кирпичик. Мы точно знаем, что можем построить что угодно. Мы точно знаем, что построенное нами будет зданием с теми же свойствами.
Однако, остается еще один вопрос. В теории множеств существует дуальная к объединению операция - пересечение. Чтобы полностью описать открытые множества с точки зрения целостности и устойчивости, мы должны рассмотреть и этот вопрос. Вернемся к нему в следующем материале!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.
