Дана равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС. АD в три раза больше ВC.
а) Докажите, что высота СН делит основание АD в отношении 1:2;
б) Найдите расстояние от вершины С до середины диагонали ВD, если АD=15, АС=2√61.
а) Доказательство.
1) Проведем вторую высоту BК.
∆АВК=∆DСН по гипотенузе и острому углу. АВ=СD как боковые стороны равнобедренной трапеции.
Углы ВАК и СDН равны как углы при основании трапеции.
Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон.
Поэтому АК=НD.
2) Четырёхугольник ВСНК - прямоугольник.
Углы ВКН и СНК прямые, т. к. ВК и СН высоты.
Углы КВС и НСВ прямые, как односторонние к углам ВКН и СНК соответственно при параллельных прямых ВС и АD и секущих ВК и СН.
По признаку параллельности прямых сумма односторонних углов равна 180°.
Значит, ВС=КН как противоположные стороны прямоугольника.
3) По условию АD=3ВС. Так как АК=НD по выше доказанному, то АК=НD=(АD-КН) :2;
Т. к. ВС=КН тоже по выше доказанному, то АК=НD=(АD-ВС) :2=(3ВС-ВС) :2 =2ВС:2= ВС.
Итак, АК=ВС, значит и НD=ВС, т. е. АК=НD=КН, поэтому высота СН разбивает основание АD на отрезки НD и АН в отношении 1:2.
Вывод НD:АН=1:2, что и требовалось доказать.
б) Дано: ВО=ОD, где О- середина диагонали ВD. АD=15, АС=2√61.
Найти: СО
Решение: ∆ ВОС=∆DОН по стороне и двум прилежащим к ней углам.
ВО=ОD по условию, углы ВОС и DОН равны как вертикальные. Углы СВО и НDО равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей ВD. Отсюда СО=ОН.
В ∆АСН АС=2√61,
АН=2/3 АD=2/3 •15=10
По теореме Пифагора
СН²=АС²-АН²=
(2√61) ²-10²=4 • 61-100=244-100=144,
СН=√144=12, СО=1/2СН=6
Ответ: СО=6
Дорогие друзья!
И вновь поступают онлайн-заявки на решение заданий по математике.
Оставляю эти решения на своём канале для вас и для себя.
Всем добра и здоровья.