Приветствую Вас!
Все дело в том, что в тригонометрических уравнениях не всегда бывают табличные корни. С одной стороны - это удобно. Если, к примеру, tgx=5, то, соответственно, х = arctg5 + Пn, где n - целое число. И, отваливается надобность дальнейшей писанины. Данный корень в таком виде и пойдет в ответ. Это касается любой функции, не только тангенса.
Но как поступить, если такие корни необходимо выставить на требуемый промежуток, допустим, от -5П/2 до -П ? Плюс ко всему, период у корня может оказаться любым, в зависимости от уравнения и угла, данного в нем.
Метод выставления любых корней сразу на окружности, по моему, взрыв мозга и лишнее напряжение извилин оного. А таких, не очень понятных, и тем паче. Поэтому, приведу более простое и понятное решение для ребят, тем более что, данный момент присутствует в ЕГЭ, в задании №13.
Начертим числовую прямую, и нанесем на нее радианы. Причем, ни как в голову взбредет, а через три клеточки каждые П/2, соответственно, сама П - 6 клеток, П/6 - 1 клетка, П/3 - 2 клетки, П/4 - 1,5, ну и 2П - 12 клеток. Это удобно и легко для подсчетов. Рассмотрим данный корень и вставим его в промежуток:
Из рисунка видно, что от исходного корня отнимали П два раза, чтобы попасть туда, куда надо, поэтому корень вышел arctg5-2П.
Что нужно понимать? А то, что любой arctg, arccos, arcsin со знаком "+" находится в первой четверти. И без разницы какое стоит под "арком" число. Безусловно, не забываем, что синусы и косинусы имеют ограничения, связанные с "+" и "-" единицей, что никак не касается тангенса. Да хоть arctg127, все равно - четверть первая.
Как видно из развертки прямой, промежуток от нуля до П/2 и есть первая четверть, от П/2 до П - вторая, ну итд. Тут главное понять, где будет находиться данный корень: ближе к нулю, или к П/2. Так как тангенс - отношение синуса и косинуса (синус - ось у, косинус - ось х), то чем больше стоит число под арктангенсом, тем ближе корень к оси у, те к П/2. Если значение меньше единицы, то прижимание корня пойдет к оси х, те к нулю.
Рассмотрим синус. Как известно, если sinx=1/3, то корни будут выглядеть так: х=arcsin1/3+2Пn и х=П-arcsin1/3+2Пn, где n-целое число.
Такая же история и с косинусом. Разбейте общий корень на два разных. Они будут располагаться по разным четвертям, а по числовой прямой понятно где какая четверть. Вставляем корень в нее и, либо прибавляем, либо отнимаем период, который получился у корня, чтобы попасть в нужный промежуток.
Благодарю за внимание..