Я хочу вернуться к любимой своей таблице умножения, которую считаю красивой, симметричной и даже элегантной. Но чтобы её рассмотреть как следует, надо её немного почистить: а именно, оставить только последние цифры в числах. Вот что получится:
Оставив только самые младшие разряды, мы “просветили” таблицу умножения через модулярную арифметику, превратив произведения в остатки от деления на 10 – на основание десятичной системы счисления. В таком виде таблица Пифагора имеет две оси симметрии, совпадающие с диагоналями таблицы.
Одна из этих осей (красная) легко объясняется тем, что от перемены мест множителей произведение не меняется. С синей осью симметрии надо немного разобраться.
Числа переходящие друг в друга при отражении от этой оси противоположны друг другу. Это значит, что в сумме они дают 10 или 0 по модулю 10. С этой точки зрения, число 9 можно воспринимать, как –1, а, число 8, как –2 и т. д. Именно эта симметрия самой арифметики и отражается в синей оси симметрии таблицы умножения для неё.
Если явно записать числа 6, 7, 8 и 9, как –4, –3, –2 и –1, соответственно, то таблица Пифагора по модулю 10 станет явно симметричной, как показано на рисунке.
Внимательно посмотрите на неё. В таком виде в таблице появились ещё две оси симметрии, проходящие по пятой строке и по пятому столбцу. Только симметрия тут не чисто зеркальная, а сопряжённая со сменой знака. Посмотрите, как красиво верхняя левая четверть таблицы переходит во все остальные четверти при применении зеркального отражения и смене знака!
Эта картинка мне очень нравится! Но создаётся впечатление, что она является грубым пиксельным приближением чего-то более тонкого. Вот если бы пальцев у нас на руках было побольше, возможно, картинка стала бы более детально проработанной. Давайте посмотрим что было бы, имей мы не 10, а 100 пальцев:
Верхний рисунок изображён в обыкновенной модулярной арифметике, в нижний – с использованием противоположных чисел.
Мы видим красивое семейство гипербол. Взялись они оттого, что график функции x×y = const это гипербола. Правда из-за того, что в модулярной арифметике конечное число элементов, гиперболы оказались «замкнутыми» и превратились в закруглённые квадраты. Переход к противоположным числам сделал таблицу более симметричной и лишил её резких переходов. Это переход очень полезен для понимания числовых закономерностей. Мы к нему ещё будем возвращаться.
Раз при простом умножении получились параболы, то значит ли это, что если в таблице Пифагора вычислять не произведения, а скажем суммы квадратов, то получатся круги (ведь x² + y² = const – это уравнение окружности)? Давайте проверим.