Как Гольдбах придумал не умножать простые числа, а складывать, и что из этого вышло

Про гипотезу Гольдбаха

Строго говоря, известных гипотез Гольбаха не одна, а две, и обе они о простых числах. Простые числа -- это те, которые делятся только на себя и на 1:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...

Не считая 1, все остальные числа -- составные, то есть строятся из простых чисел, как из кирпичиков, умножением. Простые числа по самому своему происхождению связаны с умножением и делением.

А что если перекладывать эти кирпичики иначе: не умножая их, а складывая? Полезно ли раскладывать натуральные числа на сумму простых? Всегда ли это возможно сделать?

Попробуем. Начнем с самого маленького: простого числа 2. Складывая его с собой много-много раз, мы можем получить любое четное число; например 8=2+2+2+2. Если же число нечетное, то добавим в сумму тройку, например 9=2+2+2+3. Получается, что любое натуральное число (кроме 1) мы можем получить, складывая одни только двойки и тройки. И даже такое разложение не всегда единственное, ведь 8=3+3+2 и 9=3+3+3... Мы получили результат про двойки и тройки почти даром, но он неудивительный, неполезный и неинтересный.

Чтобы сделать задачу интереснее, Гольдбах ее усложнил: поставил ограничение на число слагаемых. Можно ли разбить произвольное число (кроме 1) на сумму ограниченного числа простых слагаемых? А если можно, то каким числом ограничиться?

Попробуем складывать простые числа парами. Вот как мы прибавляем 2 к остальным простым числам:

2+2=4;

2+3=5;

2+5=7;

2+7=9;

2+11=13;

2+13=15...

Видно, что на этом пути все нечетные числа не получатся -- здесь не хватает суммы 11 и не появятся много других сумм. Складывая простые парами без двойки, мы тоже не получим нечетных чисел. Значит, для нечетных чисел надо хотя бы три простых слагаемых.

Тернарная гипотеза Гольдбаха говорит, что любое нечетное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. (Тернарный -- значит тройной.)

Теперь попробуем складывать парами нечетные простые числа. Вот что получается для первого десятка:

Ниже диагонали клетки пустые, потому что эти же суммы есть выше диагонали

Бинарная гипотеза Гольдбаха говорит, что если таблицу продолжить неограниченно далеко, то в ней рано или поздно появятся все четные числа (кроме 2 и 4). Во времена Гольдбаха единицу считали простым числом, поэтому и для двойки тоже находилось разложение: 2=1+1, а четверка получается из двух двоек. (Бинарная -- значит для пары слагаемых, кусочек "би" означает "два".)

Верна она или нет? Если не верна, то надо находить контрпример, а если верна, -- доказывать. Нам повезло больше, чем Гольдбаху, -- у нас есть компьютеры, вот пускай и считают. Вдруг найдется четное число, которое не представляется как сумма двух простых. Если такой контрпример к гипотезе существует, то компьютеры его найдут. Однако, хотя они проверили все числа до 10¹⁸, контрпример все еще не попался. Многие поэтому верят, что бинарная гипотеза Гольдбаха верна.

Нельзя ли вместо двух гипотез сделать одну

Про математиков рассказывают анекдот в двух задачах.

Задача 1. Дано: кран с водой, пустой чайник, спички, газовая плита. Требуется: вскипятить воду в чайнике. Решение. Налить воды в чайник, зажечь спичку, разжечь плиту, поставить чайник с водой на плиту, дождаться пока закипит.

Задача 2. Дано: кран с водой, чайник с водой, спички, газовая плита. Требуется: вскипятить воду в чайнике. Решение. Вылить воду из чайника и свести задачу к предыдущей.

Может, быстрее было не выливать воду из чайника?

Что тут смешного? Что простую задачу свели к более сложной; можно было не усложнять себе жизнь, а решить проще.

Тернарную гипотезу Гольдбаха легко свести к бинарной. Если бы бинарная была доказана, то тернарную доказать -- как воду из чайника вылить.

Вот как это делается: берем нечетное число, отнимаем простое число 3, получаем четное число, раскладываем его по бинарной гипотезе в сумму двух простых, прибавляем обратно 3 -- вот и готово разложение исходного нечетного числа в сумму трех простых (одно из них 3).

Но так более простая тернарная гипотеза сводится к более сложной. Математики не столь глупы, как о них рассказывают в анекдотах. Сначала они справились с задачей попроще.

Приключения тернарной гипотезы

Фрагмент письма Гольдбаха Эйлеру от 7 июня 1742 года.

Если мы посмотрим на то самое письмо, в котором Гольдбах высказал свою гипотезу Эйлеру, то увидим, что Гольдбах еще тогда раскладывал 4, 5 и 6 в сумму простых (в те времена единица считалась простым числом), и подсчитывал, сколькими способами это можно сделать. Чем больше число, тем способов больше, даже если отказаться от единиц.

В 1937 Иван Матвеевич Виноградов доказал, что ка­ж­дое дос­та­точ­но боль­шое не­чёт­ное чис­ло есть сум­ма трёх про­стых чи­сел. Если бы можно было перебрать все нечетные числа до "достаточно большого", то этим тернарная гипотеза была бы доказана. Но "достаточно большое" число было настолько большим, что Виноградов не сумел его указать.

Наступление на гипотезу с тех пор шло с двух фронтов. Поколения математиков постепенно уменьшали "достаточно большое" число, после которого все нечетные числа раскладыватся в сумму трех простых. От чудовищно большого до ужасно большого, а потом до такого, с которым может справиться современный компьютер. Тем временем компьютеры тоже улучшались, позволяя за разумное время перебрать и проверить все числа вплоть до "достаточно большого". Окончательное решение в 2013 году получил Харальд Хельфготт, математик из Перу.

Они встретились!

О бинарной гипотезе

А что с четными числами? Не так сложно доказать, что все достаточно большие четные числа представляются в виде суммы четырех простых; с этим справится каждый вдумчивый старшеклассник. Но мы не можем здесь заменить слово "четырех" на "двух": бинарная гипотеза все еще ждет своего доказательства. Ну или опровержения.

Малоизвестные факты про самого Гольбаха -- в предыдущей статье

И еще о простых числах и их распределении