Математика с Надеждой

Кто в детстве не делал снежинок из бумаги? Брали белый квадратик, складывали его несколько раз и вырезали затейливый узор. Развернув, получали нарядную симметричную снежинку. А какие фигуры можно получить, если разрешается сделать только ОДИН прямолинейный разрез, а бумагу можно складывать как угодно? Оказывается, любой многоугольник, граница которого состоит из конечного числа прямолинейных отрезков. Эту теорему доказал Erik Demaine на рубеже 20 и 21 веков. Скажем, одним разрезом из квадрата можно вырезать любую букву из названия этого канала...

Квадраты -- в смысле вторые степени. Как и о других маленьких числах, о двойках можно рассказать много интересных историй. Степени двойки, например, возникают во многих сюжетах. Или всякие разные дихотомии --- внутри и снаружи, справа и слева... Неожиданно много связей оказалось у сюжета про вторые степени -- но не натуральных чисел, а обратных к ним. Задача о суммировании ряда обратных квадратов была поставлена как вызов европейским математикам в 1644 году, и получила название Базельской задачи (Базель – город в Швейцарии)...

Очень многие отношения, с которыми мы встречаемся, транзитивны. Чтобы такое отношение описать, нам нужно три объекта. Например, транзитивно отношение «быстрее»: если Корней быстрее Матвея, а Матвей быстрее Пантелея, то Корней быстрее Пантелея Или возьмем отношение «выше», оно тоже транзитивно. Если Пантелей выше Корнея, а Корней выше Матвея, то Пантелей выше Матвея: Транзитивность так привычна, что нетранзитивные отношения нас удивляют. Вот кольца Борромео: Красное кольцо положили на зелёное, зелёное — на синее, а синее — на красное...

Можно ли раскрасить плоскость в два цвета красиво — то есть так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 были разного цвета? Вообразим, что можно: плоскость удалось раскрасить в два цвета красиво. Положим на нее правильный треугольник со стороной 1. Все его три вершины не могут быть разноцветными (вершин три, а цветов всего два), значит, есть две вершины одного цвета, а расстояние между ними 1 — вот мы и нашли изъян в раскраске. Итак, в два цвета плоскость раскрасить красиво нельзя. А в три? В четыре? В пять? ...

Золотое сечение -- это один из объектов-медиаторов, то и дело оно возникает в разных областях математики, и с числом 5 оно тоже связано. Мой любимый способ получить золотое сечение — завязать узелок-пятиугольник. Вот картинка из книги про цыплят с объяснением: Надо взять полоску бумаги шириной около двух сантиметров и начать завязывать её обыкновенным узлом. Узел затягивать медленно и аккуратно, расправляя его так, чтобы он был плоским. Чтобы получился пятиугольник, лишние концы можно загнуть. Если...

В математике все взаимосвязано, и именно в этом часть её силы. На одну ситуацию мы можем смотреть с разных точек зрения, есть на то у математики разные модели; они связаны друг с другом и друг друга обогащают. Почему-то получилось так, что число 6 возникало уже в этой предновогодней серии. Это своеобразный медиатор, как и другие небольшие числа. Само совершенство Совершенные числа равны сумме своих собственных делителей, и 6 -- самое маленькое из них. Его собственные делители -- это 1, 2, 3, причём 1+2+3=6...

Вот плотницкий инструмент под названием "складной метр". Сейчас такими почти не пользуются, ведь есть специальные измерители. Плотницкий метр носить с собой было неудобно, поэтому его делали складным, так его проще было переносить. Соединим два конца плотницкого метра: получится модель многоугольника. Хотя его стороны -- жесткие звенья, этот многоугольник сгибаем, его можно деформировать, поворачивая соседние ребра у шарнирных соединений. А вот если мы возьмем шарнирный треугольник, то он будет неизгибаемый, жесткий...

Если есть сковорода — не страшны нам холода, Потому что блин горячий — это лучшая еда! Любите ли вы блины так, как любят их Корней с Пантелеем? Нет, потому что вчера им достались не обычные блины, а те, что испекла прекрасная Матильда. Оба друга смело щелкали челюстями, пока на блюде не остался один самый последний блин. Как его разделить поровну без циркуля и линейки? — У меня глаз-алмаз, — похвастался Корней, — я и без инструментов могу делать разрезы под 90 градусов и даже под 45. И немедленно разрезал...

Хорошо известны головоломки типа «запиши число 2023 одними девятками». Задачка. Какого наименьшего количества девяток хватит, чтобы записать 2023? (Можно использовать сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Можно еще записывать цифры подряд и так получать многозначные числа.) Из той же серии — записать какое-нибудь число, использовав все цифры от 1 до 9 в возрастающем порядке. Или в убывающем. Оказывается, если цифры от 9 до 1 записаны в убывающем порядке, то можно получить любое натуральное число от 11111...

У одних целых чисел есть друзья, а другие одиноки. У кого есть друзья? У тех, кто может разделить с другом общие свойства. В теории чисел мы часто интересуемся делимостью, и в этой истории тоже речь идет о делимости. Для каждого натурального числа N определим его «достаток»: S(N)= (сумма делителей N)/N. Вот как можно посчитать достатки первых шести натуральных чисел: Друзьями считаются числа с одинаковым достатком. Например, сумма делителей числа 4320 равна 15120, сумма делителей числа 4680 равна 16380...

Есть такая теория шести рукопожатий. Она говорит, что каждый человек на земле может дотянуться до каждого за шесть рукопожатий. Нарисуем огромный-преогромный граф, вершины которого -- разные люди. Соединим вершины ребрами, если люди знакомы -- «пожимали руки». Тогда от каждого человека к каждому можно добраться по связному пути из шести ребер. Между прочим, это получается не потому, что сеть знакомств людей мира очень плотная, а потому, что в ней есть небольшое число людей-медиаторов, имеющих широкий круг знакомств...

На нашем циферблате 12 часов, часовые деления распределены по окружности равномерно, и этот простой факт служит источником самых разных задач. Соединим отрезками отметку 11 часов и 1 час, 1 и 9, 9 и 6, 6 и 11. Получилось два жёлтых треугольника. Оказывается, их общая вершина лежит на отрезке 3-10. Как это доказать? Нам помогут часовые деления на окружности! Нарисуем треугольник 3--9--11--3. 11--6, 3--10 и 9--1 -- это все биссектрисы этого треугольника, ведь они делят пополам дуги, которые стягиваются сторонами треугольника...