В статье пойдёт речь об одной из самых интересных прикладных областей математики под названием "Теория игр", а точнее о равновесии Нэша и как его понимание может помочь в принятии правильных эффективных решений.
Кратко о том, что такое равновесие Нэша
Простыми словами это можно описать так: часто в ситуации есть такие стратегии поведения всех участников, при которых каждый, зная стратегии других, не захочет менять свою, потому что она для него оптимальна - это называется равновесием Нэша. Основная важность такого равновесия в том, что при достижении оно становится стабильным и не требует дополнительных усилий для поддержания сложившегося порядка. Кстати тут важно учесть, что теория игр - область математики, а потому применима только к тем ситуациям, в которых любую прибыль или потерю можно описать численно и эти значения можно сравнивать друг с другом.
Итак рассмотрим простой пример такого равновесия. Представим двух продавцом мороженого, которые ищут местечко повыгоднее на длинном пляже. Отдыхающие предпочитают ходить и покупать мороженое у того, кто к ним находится ближе. Продавцы выходят на пляж в каких-то случайных местах, но тут же каждый понимает, что сместившись немного ближе ко второму он захватит часть людей, которые сейчас ходят за мороженым к конкуренту. Таким образом они по-немного смещаются друг к другу, пока не станут "спина к спине". Если при этом они окажутся не в центре пляжа, то тот, кто ближе к краю может захватить больше покупателей став с другой стороны от своего конкурента, потому они снова начинают смещаться пока не станут оба в центре пляжа. В этот момент будет достигнуто равновесие Нэша, и теперь уже никто из них не захочет никуда перемещаться, потому что любое перемещение лишь уменьшит его заработок. Они оба знают стратегии друг друга, но изо дня в день будут вставать в центре рядом друг с другом (если это не будет влиять на количество их покупателей, которые в реальной жизни могут не захотеть так далеко ходить)
Смешанные стратегии
Выше был приведён пример чистой стратегии, когда участнику всегда одним образом выгоднее поступать, чем любым другим. Но иногда бывает так, что прибыль зависит от поведения других участников, или вероятность выигрыша, или некоторые варианты выбора имеют свою цену, которая тоже может меняться. Тогда возникает ситуация, что поступать каким-то определённым образом не выгодно и нужно искать смешанную стратегию поведения. Чтобы было проще, сразу начнём рассматривать на примере.
Допустим двум людям предлагают сыграть в следующую лотерею: двум игрокам предлагают дать организатору по 500 или 1000 рублей. Если Они оба дадут одинаковую сумму, то организатор оставит все деньги себе, а если разную, то каждый получит обратно сумму вдвое больше, чем ставил. Как же им поступить оптимально при условии, что они не могут договариваться?
Разумеется им надо найти равновесие Нэша, потому что если у обоих игроков стратегии оптимальны, то узнав их никто не захочет свою стратегию поменять, а это и есть равновесие Нэша. Также нужно заметить, что игроки находятся абсолютно в одинаковых условиях, а потому если они будут сознательно (обосновано) принимать какое-то решение, то это решение окажется одинаковым для обоих и они обязательно проиграют, а значит если есть выигрышная стратегия, то она должна быть отдана на волю случая (игроки не должны принимать решения, а должны бросать монетку, игральные кости или что-то ещё). Но игрок может согласиться бросать монетку только в том случае, если получит одинаковую прибыль независимо от того, какой вариант выпадет, потому что если прибыль от разных вариантов не одинаковая, то он не стал бы бросать монетку и сам бы выбрал тот, который лучше. Итак, какую монетку (какие вероятности ходов) должен выбрать первый игрок, чтобы второй тоже согласился бросать монетку? - допустим, что первый выбрал монетку, которая с вероятностью p говорит отдать тысячу рублей, а с вероятностью (1-p) отдать 500. Тогда если второй игрок решит отдать тысячу, его выигрыш составит (1-p)*2000 - p*1000, а если решит отдать 500 рублей, то p*1000 - (1-p)*500. Приравняем эти выигрыши и посчитаем чему равно p, чтобы второй мог тоже бросать монетку
(1-p)*2000 - p*1000 = p*1000 - (1-p)*500;
2000 - 3000p = 1500p - 500;
4500p = 2500;
p = 5/9;
И теперь мы можем посчитать прибыль каждого из игроков от такой лотереи:
((1-5/9)*2000 - (5/9)*1000)*5/9 + ((5/9)*1000 - (1-5/9)*500)*(1-5/9) = 333.33
Игра с нулевой суммой для двух игроков
Бывают игры при которых игроки соревнуются между собой и прибыль одного является убытком другого, когда сумма всех прибылей равна нулю. В этом случае для двух игроков равновесие Нэша приобретает забавное свойство: если один из игроков находит равновесие Нэша, то независимо от стратегии второго (даже когда она не рациональна, а направлена на уменьшение прибыли другого игрока), для первого игрока его стратегия остаётся оптимальной. Потому это может без опасения применяться в жизни с гарантированным результатом. Рассмотрим снова на примере игры: предложим двум игрокам положить в "банк" по 500 или 1000 рублей, и если там окажется в сумме 1000 или 2000 рублей, то их заберёт первый игрок, а если 1500 - то второй. Казалось бы вроде честная игра, в среднем выигрыш каждого равен 0. Но давайте посчитаем для этого случая равновесие Нэша. С какой вероятностью p₁ первый игрок должен отдавать тысячу, чтобы второй согласился бросать монетку?
Прибыль второго игрока, если он ставит 1000:
p₁*(-1000) + (1-p₁)*1500
Прибыль второго игрока, если он ставит 500:
p₁*1500 + (1-p₁)*(-500)
Приравниваем и считаем p₁:
p₁*(-1000) + (1-p₁)*1500 = p₁*1500 + (1-p₁)*(-500);
1500 - 2500p₁ = 2000p₁ - 500;
4500p₁ = 2000;
p₁ = 4/9;
Ровно так же посчитаем p₂ с которой второй игрок должен отдавать тысячу, чтобы первый согласился бросать монетку:
p₂*2000 + (1-p₂)*(-1000) = p₂*(-500) + (1-p₂)*1000
3000p₂ - 1000 = 1000 - 1500p₂;
p₂ = 4/9;
Тогда прибыль второго игрока составит:
(p₁*(-1000) + (1-p₁)*1500)*p₂ + (p₁*1500 + (1-p₁)*(-500))*(1 - p₂)
(4/9*(-1000) + 5/9*1500)*4/9 + (4/9*1500 + 5/9*(-500))*5/9 = 388.89
Оказывается эта игра совсем не честная! А ведь в жизни вполне могут возникать подобные условия, и их надо уметь различать, а также уметь составлять, и тут теория игр в самый раз.
В завершение
Эта статья была лишь кратким описанием равновесия Нэша и его применения на практике. Надеюсь эта статья будет кому-то полезна. Критика, комментарии и лайки приветствуются.
