Продолжаем разбор утверждений, сегодня на очереди четырёхугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеции (без формул площади).
Параллелограмм (9 утверждений)
В6. В параллелограмме есть два равных угла.
Да, в параллелограмме противоположные углы равны, поэтому есть две пары равных углов.
В22. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Да, диагональ разбивает параллелограмм на два треугольника, равных по трём сторонам.
Н21. Диагонали параллелограмма равны.
Нет, диагонали параллелограмма равны только в прямоугольнике. В обычном параллелограмме они разные.
В24. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Да, это признак ромба: если смежные стороны равны, то все стороны равны.
В25. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
Да, равные диагонали — признак прямоугольника, перпендикулярные — признак ромба. Вместе дают квадрат.
В29. Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.
Да, это признак прямоугольника.
Н29. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является квадратом.
Нет, равные диагонали делают параллелограмм прямоугольником, но не обязательно квадратом. Квадратом он станет, если ещё и диагонали перпендикулярны.
В28. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Да, это признак ромба.
Н31. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Нет, равные диагонали — признак прямоугольника, а не ромба.
Прямоугольник (5 утверждений)
В14. Все углы прямоугольника равны.
Да, все углы по 90°.
В18. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Да, это свойство параллелограмма, которое сохраняется у прямоугольника.
В50. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Да, это квадрат (частный случай прямоугольника).
Н5. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
Нет, только в квадрате.
Н20. Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
Нет, они делят на четыре равнобедренных треугольника, но не равных между собой (если прямоугольник не квадрат).
Ромб (4 утверждения)
В20. Диагонали ромба перпендикулярны.
Да, свойство ромба.
В21. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Да, это свойство параллелограмма.
Н13. Все углы ромба равны.
Нет, равны только в квадрате. У ромба равны только противоположные углы.
Н23. Диагонали ромба равны.
Нет, равны только в квадрате.
Квадрат (2 утверждения)
В26. Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
Да, это признак квадрата.
Н30. Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.
Нет, это не всегда квадрат (например, равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями).
Квадрат и прямоугольник (2 утверждения)
В32. Любой квадрат является прямоугольником.
Да, квадрат — частный случай прямоугольника.
Н53. Существует квадрат, который не является прямоугольником.
Нет, любой квадрат — прямоугольник.
Трапеция (произвольная) (4 утверждения)
В37. Основания любой трапеции параллельны.
Да, это определение трапеции.
Н2. Боковые стороны любой трапеции равны.
Нет, равны только в равнобедренной трапеции.
Н24. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Нет, это свойство параллелограмма, а не трапеции.
Н25. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
Нет, треугольники равны только в параллелограмме.
Равнобедренная трапеция (2 утверждения)
В19. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Да, свойство равнобедренной трапеции.
Н41. Основания равнобедренной трапеции равны.
Нет, основания не равны (иначе это был бы параллелограмм).
Прямоугольная трапеция (2 утверждения)
В2. В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.
Да, это два прямых угла по 90°.
Н22. Диагонали прямоугольной трапеции равны.
Нет, равны только в равнобедренной трапеции.
Средняя линия трапеции (3 утверждения)
В45. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Да, свойство средней линии.
В46. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Да, формула средней линии.
Н50. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Нет, равна полусумме, а не сумме.
⚠️ Самые частые ошибки
Ошибка 1: путаница свойств параллелограмма и прямоугольника
Диагонали параллелограмма не равны (только в прямоугольнике). Диагонали прямоугольника равны, но не перпендикулярны (только в квадрате). По сути, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма + уникальным свойством равенства диагоналей.
Ошибка 2: свойства ромба и квадрата
У ромба диагонали перпендикулярны, но не равны. У квадрата — и перпендикулярны, и равны, так как квадрат обладает всеми свойствами ромба + уникальным свойством равенства диагоналей.
Ошибка 3: средняя линия трапеции
Средняя линия равна полусумме оснований, а не сумме.
✅ Самопроверка
Задание 1. Выберите верные утверждения.
- В параллелограмме есть два равных угла.
- Диагонали параллелограмма равны.
- Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Задание 2. Выберите верные утверждения.
- Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то это ромб.
- Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.
- Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб.
Задание 3. Выберите верное утверждение.
- Если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то это квадрат.
- Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб.
- Если диагонали параллелограмма равны, то это квадрат.
Задание 4. Выберите верные утверждения.
- Все углы прямоугольника равны.
- В любом прямоугольнике диагонали перпендикулярны.
- Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Задание 5. Выберите верные утверждения.
- Существует прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны.
- Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
- Диагонали ромба перпендикулярны.
Задание 6. Выберите верные утверждения.
- Все углы ромба равны.
- Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
- Диагонали ромба равны.
Задание 7. Выберите верное утверждение.
- Если в ромбе один угол 90°, то это квадрат.
- Любой квадрат является прямоугольником.
- Существует квадрат, который не является прямоугольником.
Задание 8. Выберите верные утверждения.
- Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то это квадрат.
- Основания любой трапеции параллельны.
- Боковые стороны любой трапеции равны.
Задание 9. Выберите верные утверждения.
- Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
- Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
- Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Задание 10. Выберите верные утверждения.
- Основания равнобедренной трапеции равны.
- В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.
- Диагонали прямоугольной трапеции равны.
Задание 11. Выберите верное утверждение.
- Средняя линия трапеции равна сумме оснований.
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
- Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Ответы: 1) 13; 2) 12; 3) 1; 4) 13; 5) 13; 6) 2; 7) 1; 8) 2; 9) 3; 10) 2; 11) 3
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какое утверждение оказалось самым неочевидным?
- Сколько заданий из «Самопроверки» выполнили верно?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
📌 Дальше — закрепление задания 19:
👉 Все верные и неверные утверждения в задании 19 - здесь.
👉 1/5 всех утверждений - здесь
👉 2/5 всех утверждений - здесь
👉 4/5 всех утверждений - здесь
👉 5/5 всех утверждений - здесь
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.