Мы уже разбили все утверждения на верные и неверные здесь, но ведь нужно разобраться, а почему же так. Сегодня разберем 20% утверждений, чтобы не зубрить, а понимать суть.
Введём обозначения: В№ - верное утверждение, Н№ - неверное утверждение.
Точки и прямые (7 утверждений)
В51. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
Да, потому что через любую точку действительно можно провести любое количество прямых. Например, через центр окружности может проходить несколько её диаметров (прямых, содержащих диаметры).
Н59. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
Нет, это нарушение аксиомы о том, что "через любую точку можно провести бесконечное множество прямых". Пример с центром окружности и её диаметрами также сюда подходит.
В55. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
Да, это аксиома о параллельных прямых. Как пример можно рассмотреть стороны параллелограмма. Они параллельны друг другу, но проведены из точек, не лежащих друг на друге.
В56. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
Да. Например, из вершины треугольника можно провести высоту (перпендикуляр) к противолежащей стороне.
В17. Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Да, это верная формулировка теоремы. Как пример - противоположные стороны прямоугольника перпендикулярны третьей стороне и параллельны между собой.
Н18. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
Нет, неверная формулировка теоремы о том, что "две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны". Как пример - основания трапеции и её средняя линия. Оба основания параллельны средней линии, но при этом не перпендикулярны, а параллельны друг другу.
Н19. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
Нет, неверная формулировка теоремы о том, что "две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны". Как пример - две высоты трапеции, перпендикулярные основанию, параллельны друг другу.
Углы (4 утверждения)
В8. Вертикальные углы равны.
Да, это теорема о вертикальных углах. Если две прямые пересекаются, то углы, лежащие друг напротив друга, всегда равны. Например, при пересечении двух прямых образуются две пары равных углов.
Н49. Смежные углы всегда равны.
Нет, смежные углы в сумме дают 180°, но равны они только в одном случае — когда каждый из них равен 90°. В остальных случаях они разные. Например, если один угол 30°, то смежный с ним 150°.
Н15. Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
Нет, так бывает не всегда. Если оба угла по 90°, то они прямые. А если один угол 120°, то смежный с ним 60° — острый, а второй тупой. Утверждение верно только когда смежные углы не равны 90°.
Н34. Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
Нет, сумма смежных углов 180°. Если один угол острый (меньше 90°), то второй больше 90°, то есть тупой. Например, 30° и 150°, 40° и 140°.
Внешний угол (2 утверждения)
В9. Внешний угол треугольника больше не смежного с ним внутреннего угла.
Да, это свойство внешнего угла. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Значит, он больше каждого из них по отдельности.
Н9. Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.
Нет, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, а не всех трёх. Если сложить все три внутренних угла, получится 180°, а внешний угол может быть больше 180°? Нет, такого не бывает. Например, если взять треугольник с углами 50°, 60°, 70°, то внешний угол при вершине с углом 50° равен 60° + 70° = 130°, а сумма всех трёх внутренних углов 180°.
Треугольники: виды (5 утверждений)
В4. В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.
Да, в любом треугольнике хотя бы два угла острые. Тупоугольный треугольник имеет один тупой угол (больше 90°), а два других всегда острые (меньше 90°).
В5. В остроугольном треугольнике все углы острые.
Да, это определение остроугольного треугольника. Все его углы меньше 90°.
Н8. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
Нет, тупоугольный треугольник имеет только один тупой угол. Сумма углов 180°, поэтому три тупых угла (каждый > 90°) в сумме дали бы больше 270°, что невозможно.
Н16. Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.
Нет, равнобедренный треугольник может быть тупоугольным или прямоугольным. Например, равнобедренный треугольник с углами 100°, 40°, 40° — тупоугольный.
Н26. Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.
Нет, в любом треугольнике есть хотя бы два острых угла. Даже в тупоугольном есть острые углы. Чтобы треугольник был остроугольным, все углы должны быть острыми.
Треугольники: биссектриса, медиана, высота (6 утверждений)
Н1. Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.
Нет, биссектриса делит пополам угол, из которого проведена, а не сторону. Сторону делит пополам медиана.
Н40. Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.
Нет, медиана делит пополам сторону, к которой проведена, а не угол. Угол делит биссектриса.
Н35. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Нет, в равнобедренном треугольнике только биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой и медианой. Биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, не обладают этим свойством.
Н36. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
Нет, по той же причине: только биссектриса, проведённая к основанию, является медианой. Остальные — нет.
В30. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
Да, это свойство биссектрисы. Любая точка на биссектрисе находится на одинаковом расстоянии от обеих сторон угла. Например, если взять угол и провести его биссектрису, то любая точка на этой биссектрисе будет одинаково удалена от обеих сторон угла. На этом свойстве основано построение окружности, вписанной в треугольник: её центр — точка пересечения биссектрис — равноудалён от всех сторон.
В52. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Да, это свойство серединного перпендикуляра. Любая точка на серединном перпендикуляре находится на одинаковом расстоянии от обоих концов отрезка. Например, если взять отрезок и провести к нему серединный перпендикуляр, то любая точка на нём будет одинаково удалена от концов отрезка. На этом свойстве основано построение окружности, описанной около треугольника: её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — равноудалён от всех вершин.
⚠️ Самые частые ошибки
Ошибка 1: путаница с медианой и биссектрисой
Биссектриса делит угол, медиана — сторону. Запомни: биссектриса — с углом, медиана — с серединой стороны.
Ошибка 2: смежные и вертикальные углы
Вертикальные — равны. Смежные — в сумме 180°, равны только если оба по 90°.
Ошибка 3: внешний угол треугольника
Внешний угол = сумме двух внутренних, не смежных с ним. Не путай с суммой всех трёх.
✅ Самопроверка
Задание 1. Выберите верные утверждения.
- Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
- Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
Задание 2. Выберите верные утверждения.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
- Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
- Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
Задание 3. Выберите верные утверждения.
- Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
- Вертикальные углы равны.
- Смежные углы всегда равны.
Задание 4. Выберите верные утверждения.
- Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
- Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
- Внешний угол треугольника больше не смежного с ним внутреннего угла.
Задание 5. Выберите верное утверждение.
- Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.
- В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.
- В остроугольном треугольнике все углы острые.
Задание 6. Выберите верные утверждения.
- В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
- Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.
- Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.
Задание 7. Выберите верные утверждения.
- Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.
- Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.
- Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
Задание 8. Выберите верное утверждение.
- Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
- Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
- Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Ответы: 1) 13; 2) 12; 3) 2; 4) 3; 5) 23; 6) нет верных; 7) 3; 8) 3.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип оказался самым сложным?
- Сколько заданий из "самопроверки" выполнили верно?
Это займёт 10 секунд, а я смогу подстроить тренажёр именно под ваши ошибки.
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — закрепление задания 19.
👉 Все верные и неверные утверждения в задании 19 - здесь.
👉 2/5 всех утверждений - [во вторник]
👉 3/5 всех утверждений - [в среду]
👉 4/5 всех утверждений - [в четверг]
👉 5/5 всех утверждений - [в пятницу]
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.