Продолжаем разбор утверждений, сегодня на очереди окружности: вписанные и описанные четырёхугольники, окружности и треугольники, касательные, хорды, диаметры, вписанные и центральные углы.
Вписанные и описанные четырёхугольники (5 утверждений)
В3. В любой ромб можно вписать окружность.
Да, в любой ромб можно вписать окружность, так как суммы противоположных сторон равны.
В33. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Да, около любого прямоугольника можно описать окружность, так как сумма противоположных углов 180°.
Н3. В любой прямоугольник можно вписать окружность.
Нет, вписать окружность можно только в квадрат.
Н4. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
Нет, окружность можно вписать только в четырёхугольник, у которого суммы противоположных сторон равны.
Н39. Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
Нет, около параллелограмма можно описать окружность только если он прямоугольник.
Вписанные и описанные окружности (треугольник) (3 утверждения)
В1. Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
Да, это свойство вписанной окружности.
В44. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
Да, это свойство описанной окружности.
Н58. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
Нет, для тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника.
Окружности, радиусы, касательные (4 утверждения)
В43. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Да, это определение радиуса.
В54. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Да, это свойство касательных.
Н17. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
Нет, нужно ещё учитывать расстояние между центрами.
Н55. Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
Нет, точка на окружности удалена от своего центра на радиус, а от другого центра — на другое расстояние.
Диаметры и хорды (3 утверждения)
В12. Все диаметры окружности равны между собой.
Да, все диаметры равны двум радиусам.
Н14. Все хорды одной окружности равны между собой.
Нет, хорды могут быть разной длины.
В34. Любые два диаметра окружности пересекаются.
Да, все диаметры проходят через центр, поэтому любые два диаметра пересекаются в центре.
Касательная к окружности (2 утверждения)
В31. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Да, это свойство касательной.
Н37. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
Нет, касательная перпендикулярна радиусу.
Вписанный и центральный углы (2 утверждения)
В10. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
Да, это свойство вписанного угла.
Н57. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Нет, вписанный угол равен половине центрального.
⚠️ Самые частые ошибки
Ошибка 1: путаница между вписанной и описанной окружностью
Вписанная окружность — внутри фигуры, касается всех сторон. Описанная — вокруг фигуры, проходит через все вершины. Запомни: вписанная — касается сторон, описанная — проходит через вершины.
Ошибка 2: условия вписанного и описанного четырёхугольника
Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов = 180°. Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны.
Ошибка 3: центр описанной окружности треугольника
У остроугольного — внутри, у прямоугольного — на середине гипотенузы, у тупоугольного — вне треугольника.
✅ Самопроверка
Задание 1. Выберите верные утверждения.
- В любой ромб можно вписать окружность.
- Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
- В любой прямоугольник можно вписать окружность.
Задание 2. Выберите верные утверждения.
- В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
- Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
- Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.
Задание 3. Выберите верное утверждение.
- Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности.
- Центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
- Расстояние от точки на окружности до центра равно радиусу.
Задание 4. Выберите верные утверждения.
- Через любую точку вне окружности можно провести две касательные.
- Две окружности пересекаются, если радиус одной больше радиуса другой.
- Все диаметры окружности равны.
Задание 5. Выберите верные утверждения.
- Все хорды одной окружности равны.
- Любые два диаметра окружности пересекаются.
- Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.
Задание 6. Выберите верное утверждение.
- Касательная к окружности параллельна радиусу в точке касания.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
- Вписанный угол равен центральному, опирающемуся на ту же дугу.
Задание 7. Выберите верные утверждения.
- В любой ромб можно вписать окружность.
- Все хорды одной окружности равны.
- Центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
Ответы: 1) 12; 2) 3; 3) 1; 4) 13; 5) 23; 6) 2; 7) 1
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какое утверждение оказалось самым неочевидным?
- Сколько заданий из «Самопроверки» выполнили верно?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — закрепление задания 19.
👉 Все верные и неверные утверждения в задании 19 - здесь.
👉 1/5 всех утверждений - здесь
👉 2/5 всех утверждений - здесь
👉 3/5 всех утверждений - здесь
👉 5/5 всех утверждений - здесь
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.