Продолжаем разбор утверждений, сегодня на очереди треугольники и теоремы о них.
Равносторонний треугольник (4 утверждения)
В11. Все высоты равностороннего треугольника равны.
Да, в равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все высоты, проведённые к разным сторонам, тоже равны.
В15. Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.
Да, у равностороннего треугольника все углы по 60°, а 60° < 90°, значит, он остроугольный.
В16. Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
Да, равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного (у него равны хотя бы две стороны).
В57. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
Да, в равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты совпадают, поэтому центры вписанной и описанной окружностей находятся в одной точке.
Признаки равенства треугольников (3 утверждения)
Н27. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Нет, угол должен быть между этими сторонами. Если угол не между ними, треугольники могут не быть равными.
Н28. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Нет, нужен ещё угол между ними или третья сторона.
Н33. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Нет, треугольники с равными углами подобны, но не обязательно равны. Их стороны могут отличаться.
Неравенство треугольника (4 утверждения)
В53. Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
Да, так как 4 > 1 + 2, нарушается неравенство треугольника.
Н56. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
Нет, по той же причине.
В23. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
Да, это неравенство треугольника: любая сторона меньше суммы двух других.
В7. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Да, это теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
Подобие треугольников (6 утверждений)
В27. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Да, это первый признак подобия треугольников.
Н42. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Нет, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
В13. Все равносторонние треугольники подобны.
Да, у всех равносторонних треугольников углы по 60°, поэтому они подобны по первому признаку.
В35. Любые два равносторонних треугольника подобны.
Да, это то же утверждение, что и В13.
Н11. Все прямоугольные треугольники подобны.
Нет, прямоугольные треугольники подобны только при равенстве острого угла.
Н12. Все равнобедренные треугольники подобны.
Нет, равнобедренные треугольники могут иметь разные углы при вершине.
Теорема Пифагора (2 утверждения)
Н6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
Нет, гипотенуза всегда меньше суммы катетов (согласно неравенству треугольника).
Н7. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов.
Нет, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Сумма углов треугольника (2 утверждения)
В36. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Да, если бы все углы были больше 60°, их сумма превысила бы 180°. Значит, хотя бы один угол ≤ 60°.
В49. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
Да, сумма углов любого треугольника равна 180°, независимо от его вида.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника (2 утверждения)
В47. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Да, так как один угол 90°, а сумма всех трёх 180°, то на два острых остаётся 90°.
Н52. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Нет, сумма углов любого треугольника равна 180°, а не 90°.
Треугольник и четырёхугольник (3 утверждения)
В48. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.
Да, любой выпуклый четырёхугольник можно разбить диагональю на два треугольника, сумма углов каждого 180°, итого 360°.
Н51. Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
Нет, сумма углов треугольника равна 180°, а не 360°.
Н32. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
Нет, четырёхугольники могут иметь разные углы при одинаковых сторонах.
⚠️ Самые частые ошибки
Ошибка 1: путаница с подобием и равенством
Равные треугольники — одинаковые по всем параметрам. Подобные — одинаковые по форме, но могут быть разного размера. Запомни: равенство → стороны и углы равны. Подобие → только углы равны, стороны пропорциональны.
Ошибка 2: отношение площадей подобных треугольников
Площади относятся как квадрат коэффициента подобия, а не как сам коэффициент.
Ошибка 3: теорема Пифагора
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, а не разности.
✅ Самопроверка
Задание 1. Выберите верные утверждения.
- Все высоты равностороннего треугольника равны.
- Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
- Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.
Задание 2. Выберите верные утверждения.
- Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Все прямоугольные треугольники подобны.
- Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
Задание 3. Выберите верное утверждение.
- Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
- Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Задание 4. Выберите верные утверждения.
- Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
- Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Задание 5. Выберите верное утверждение.
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Все равносторонние треугольники подобны.
Задание 6. Выберите верные утверждения.
- Любые два равносторонних треугольника подобны.
- Все равнобедренные треугольники подобны.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
Задание 7. Выберите верное утверждение.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов.
- Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
- Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
Задание 8. Выберите верные утверждения.
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
- Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
- Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.
Задание 9. Выберите верные утверждения.
- Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
- Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
- Все высоты равностороннего треугольника равны.
Ответы: 1)13; 2)3; 3)1; 4)23; 5)1; 6)1; 7)3; 8)13; 9)3
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какое утверждение оказалось самым неочевидным?
- Сколько заданий из «Самопроверки» выполнили верно?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — закрепление задания 19.
👉 Все верные и неверные утверждения в задании 19 - здесь.
👉 1/5 всех утверждений - здесь
👉 3/5 всех утверждений - [в среду]
👉 4/5 всех утверждений - [в четверг]
👉 5/5 всех утверждений - [в пятницу]
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.